絕對(duì)值的幾何意義教學(xué)之我見(jiàn)

昕杭的教育絮事:我和我的“孩子們”

培優(yōu)班第二周這一講，我們對(duì)絕對(duì)值的幾何意義作一個(gè)深入的剖析．因?yàn)樵诮^對(duì)值的知識(shí)點(diǎn)中，蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想．(1)分類討論思想：絕對(duì)值化簡(jiǎn)時(shí)，要根據(jù)被化簡(jiǎn)式子的正負(fù)性來(lái)分類．(2)整體思想：絕對(duì)值化簡(jiǎn)時(shí)，有時(shí)需要將被化簡(jiǎn)式子看作整體．(3)數(shù)形結(jié)合思想：絕對(duì)值的幾何意義中，結(jié)合數(shù)軸來(lái)了解，更加簡(jiǎn)單易懂．——寫在前面 一、概念辨析 首先，來(lái)回憶一下絕對(duì)值的幾何意義：數(shù)軸上，表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．如數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離． 但是我們其實(shí)可以把|a|看作|a－0|，這樣就能表示為數(shù)a的點(diǎn)與數(shù)0的點(diǎn)的距離．那么|a－5|表示什么呢？千萬(wàn)別說(shuō)成數(shù)a－5的點(diǎn)與數(shù)0的點(diǎn)的距離．而應(yīng)該看成數(shù)a的點(diǎn)與數(shù)5的點(diǎn)的距離．不能理解的同學(xué)，我們就舉最簡(jiǎn)單的例子，數(shù)10的點(diǎn)與數(shù)5的點(diǎn)的距離是多少，你肯定是知道是10－5，那這里只不過(guò)把10換成了a而已，如果a比5小，加個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，保證距離的非負(fù)性即可，這下你明白了吧．那么|a＋5|表示什么呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示數(shù)a的點(diǎn)與數(shù)－5的點(diǎn)的距離．最后，你能說(shuō)出|a－b|和|a＋b|的幾何意義嗎？ 二、典型例題1.絕對(duì)值化簡(jiǎn)求最值例1求|x－1|＋|x－2|的最小值．分析：|x－1|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)1的點(diǎn)之間的距離，|x－2|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，|x－1|＋|x－2|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)1的點(diǎn)之間的距離與數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)2的點(diǎn)之間的距離之和． 我們不妨在數(shù)軸上，設(shè)A、B、P三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是1、2、x．當(dāng)1≤x≤2時(shí)，即P點(diǎn)在線段AB上，此時(shí)|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＝1；<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdCxmPm3pljyOYulSoSAliatSREHuytkr2Blwbz7K65aAKTRKgz3qSwzsw/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1">當(dāng)x＞2時(shí)，即P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdC1Rpgge7CZ3dYajCYlmIcDGVWOMMXWHmOwxRfbvfh7GegVkzy6mJvmA/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1">當(dāng)x＜1時(shí)，即P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)，此時(shí)|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdCTDYdKmdBRYpHAAH4icBUQp2XS9nS5NPLnSMnwx6uBiaWfBQmfD6Yjvmg/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1">解答：綜上，當(dāng)1≤x≤2時(shí)(P點(diǎn)在線段AB上)，|x－1|＋|x－2|取得最小值為1． 結(jié)論歸納：若已知a＜b，則當(dāng)a≤x≤b時(shí)，|x－a|＋|x－b|取得最小值為b－a．變式1求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值．分析：我們不妨在數(shù)軸上，設(shè)A、B、C、P四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1、2、3、x．①當(dāng)1≤x≤3時(shí)，|x－1|＋|x－3|＝PA＋PC＝3－1＝2，取得最小值；②當(dāng)x＝2時(shí)，|x－2|＝PB＝0，取得最小值；<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdC8RIf8q7SgCJIEiaWlLAciapd3ibqHocWW9IRZT180toHUmgRXwACBvmFg/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1">而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＝PA＋PB＋PC，即上面兩式|x－1|＋|x－3|與|x－2|之和，如果這兩式能同時(shí)取得最小值，那么它們的和必然也取得最小值．解答：當(dāng)x＝2時(shí)，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值為(3－1)＋0＝2 變式2求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|的最小值．分析：我們不妨在數(shù)軸上，設(shè)A、B、C、D、P五點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1、2、3、4、x．①當(dāng)1≤x≤4時(shí)，|x－1|＋|x－4|＝PA＋PD＝4－1＝3，取得最小值；②當(dāng)2≤x≤3時(shí)，|x－2|＋|x－3|＝PB＋PC＝3－2＝1，取得最小值；<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdCibIZUAsFsvRViaVrAwFe0z3iaJJrjnucEIpvQqNr8J8uJjyAuQ4icLDy0g/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1">而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＝PA＋PB＋PC＋PD，即上面兩式|x－1|＋|x－4|與|x－2|＋|x－3|之和，如果這兩式能同時(shí)取得最小值，那么它們的和必然也取得最小值．解答：當(dāng)2≤x≤3時(shí)，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|的最小值為(4－1)＋(3－2)＝4．變式3求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|的最小值．分析：我們不妨在數(shù)軸上，設(shè)A、B、C、D、E、P六點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1、2、3、4、5、x．①當(dāng)1≤x≤5時(shí)，|x－1|＋|x－5|＝PA＋PE＝5－1＝4，取得最小值；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，|x－2|＋|x－4|＝PB＋PD＝4－2＝2，取得最小值；③當(dāng)x＝3時(shí)，|x－3|＝PC＝0，取得最小值；<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdCeFW3IiardbYT1cphoxyj4ricNFpLeZhLBWQGm5GltEWOHhukaZ90Tqicg/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1">而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3＋|x－4|＋|x－5||＝PA＋PB＋PC＋PD＋PE，即上面三式|x－1|＋|x－5|，|x－2|＋|x－4|與|x－3|之和，如果這三式能同時(shí)取得最小值，那么它們的和必然也取得最小值．解答：當(dāng)x＝3時(shí)，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|的最小值為(5－1)＋(4－2)＋0＝6．結(jié)論歸納：<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdCPAUbcyyZM9EjOj2ByjbGYibDSRoEUsNWemNOhoVgDLRZTzM1yMKzP2w/640?wx_fmt=png"> 例3|x＋1|＋|x－3|＝6，x＝_______．分析：|x＋1|＋|x－3|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)－1的點(diǎn)之間的距離與數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)3的點(diǎn)之間的距離之和．顯然，我們易知，當(dāng)－1≤x≤3時(shí)，距離之和為4，因此，x的取值必然滿足x＜－1或x＞3．我們不妨以x＜－1為例，結(jié)合數(shù)軸分析，設(shè)A、B、P三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是－1、3、x．設(shè)P、A兩點(diǎn)距離為a，則P、B兩點(diǎn)距離為a＋4，a＋a＋4＝6，a＝1，則x＝－1－1＝－2，同理，當(dāng)x＞3時(shí)，也可求．<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdCcC4uFshGLL0Hwl9yNY106ZELjtYNEI27tO1aAqr9AD0KCJtVbicqTbQ/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1">解答：x＜－1，設(shè)P、A兩點(diǎn)距離為a，則P、B兩點(diǎn)距離為a＋4，a＋a＋4＝6，a＝1，則x＝－1－1＝－2，x＞3，設(shè)P、B兩點(diǎn)距離為a，則P、A兩點(diǎn)距離為a＋4，a＋a＋4＝6，a＝1，則x＝3＋1＝4，綜上，x＝－2或4．例4|x＋1|－|x－3|＝2，x＝_______．分析：|x＋1|－|x－3|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)－1的點(diǎn)之間的距離與數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)3的點(diǎn)之間的距離之差．顯然，我們易知，當(dāng)x＜－1時(shí)，距離之差為－4，當(dāng)x＞3時(shí)，距離之差為4，因此，x的取值必然滿足－1≤x≤3．我們不妨結(jié)合數(shù)軸分析，設(shè)A、B、P三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是－1、3、x．設(shè)P、A兩點(diǎn)距離為a，則P、B兩點(diǎn)距離為a－2，a＋a－2＝4，a＝3，則x＝－1＋3＝2．<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdCcOattbp4iab9jFdnfHH9xTCOltlUGXZhaPCyc5uicyqtujUpXZPbXqfg/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1">解答：x＝2 本講思考題<img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pOvqibR3eP01qPvwr94o8SFcSQD4kjCdC4NyCVXEKOqBqBhRErXa0OjcsibL6qEbqF3Rc2Rvib1CbJcic6A4yoiaG7A/640?wx_fmt=png&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1"> <h2>若喜歡</h2>若喜歡，歡迎轉(zhuǎn)發(fā)和小額打賞！

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