<p class="ql-block">如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，點(diǎn)D是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，以線段CD為斜邊在右側(cè)作等腰Rt△CDE，連接AE，求AE的最小值.</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(22, 126, 251);">最值基本原理</b></p><p class="ql-block">1.兩點(diǎn)之間線段最短——點(diǎn)點(diǎn)最值；</p><p class="ql-block">2.垂線段最短——點(diǎn)線最值；</p><p class="ql-block">3.點(diǎn)圓最值；</p><p class="ql-block">4.三角形的三邊關(guān)系.</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(22, 126, 251);">思維突破</b></p><p class="ql-block">1.共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰直角三角形，可惜一個(gè)是直角頂點(diǎn)一個(gè)是底角頂點(diǎn)，角不同不相為謀，無法構(gòu)建旋轉(zhuǎn)全等或放縮模型，共頂點(diǎn)所在角怎樣轉(zhuǎn)化相等的角即三角形時(shí)針方向相同；</p><p class="ql-block">2.結(jié)論中的AE點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)為E是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？直線或圓弧形？與動(dòng)點(diǎn)D存在怎樣的關(guān)系？</p><p class="ql-block">構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等或放縮模型確定動(dòng)點(diǎn)軌跡采取點(diǎn)線最值還是選擇點(diǎn)圓最值是我們解決問題的思維目標(biāo).圍繞思維目標(biāo)制定思維方法和路徑.</p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(22, 126, 251);">思維路徑</b></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">思維方向一：圍繞等腰直角三角形構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">方法一：補(bǔ)法構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等模型</span></p><p class="ql-block">1.延長DE至點(diǎn)F，使DE＝EF，連接CF和BF——構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等模型</p><p class="ql-block">證△ACD和△BCF全等——SAS</p><p class="ql-block">條件：AC＝BC，∠ACD＝∠BCF，CD＝CF</p><p class="ql-block">可得AD＝BF，∠CBF＝∠CAD＝45°，證∠ABF＝90°.</p> <p class="ql-block">2.截取AH＝BD，作AB的中點(diǎn)G，連接EG和FH——構(gòu)造中位線</p><p class="ql-block">易證BH＝AD＝BF——△BFH是等腰直角三角形</p><p class="ql-block">則∠BHF＝∠EGD＝45°——中位線</p><p class="ql-block">因此點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線型.</p> <p class="ql-block">3.作AM⊥EG于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)M重合時(shí)，AE最小.</p><p class="ql-block">在Rt△AMG中，AM＝√2/2AG＝2.</p><p class="ql-block">因此AE的最小值為2.</p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8);">方法二：割法構(gòu)建旋轉(zhuǎn)放縮模型</span></p><p class="ql-block">1.作AB的中點(diǎn)F，連接CF和EF——構(gòu)造旋轉(zhuǎn)放縮模型</p><p class="ql-block">證△ACD和△FCE相似</p><p class="ql-block">條件：AC＝√2FC，∠ACD＝∠ECF，CD＝√2CE可得∠CFE＝∠CAD＝45°.</p><p class="ql-block">由于AB與EF的夾角是定角，AB是定直線，因此點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線型.</p> <p class="ql-block">2.作AH⊥EF于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)H重合時(shí)，AE最小.</p><p class="ql-block">在Rt△AHF中，AH＝√2/2AF＝2.</p><p class="ql-block">因此AE的最小值為2.</p> <p class="ql-block">思維方向二：利用特殊點(diǎn)軌跡構(gòu)造法</p><p class="ql-block">1.當(dāng)點(diǎn)D與B重合(特殊點(diǎn))時(shí)，以BC為斜邊在右側(cè)作等腰△BCE，連接EF——確定點(diǎn)D和E的特殊位置結(jié)合一般位置探尋旋轉(zhuǎn)模型.</p><p class="ql-block">證△BCD和△FCE相似</p><p class="ql-block">條件：BC＝√2CF，CD＝√2CE，∠BCD＝∠FCE</p><p class="ql-block">可得∠CFE＝∠CBD＝45°</p><p class="ql-block">可證EF是垂直平分BC——三線合一</p><p class="ql-block">因此點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線型.</p> <p class="ql-block">2.作AH⊥EF于點(diǎn)H，易證四邊形ACMH是矩形AH＝CM＝2.</p><p class="ql-block">當(dāng)點(diǎn)E與H重合時(shí)AE的最小值為2.</p> <p class="ql-block">注：①若動(dòng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合點(diǎn)E在AB的中點(diǎn)，思維過程參考方向一的方法二；②若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E到BC的中點(diǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)放縮模型，利用定角定邊確定動(dòng)點(diǎn)E的軌跡，根據(jù)垂線段最短可求AE的最小值</p><p class="ql-block"><br></p>