<p class="ql-block">人教版全日制普通高中教材《數(shù)學》第二冊（上）第八章的閱讀材料《圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用》中，提出了拋物線、橢圓、雙曲線的光學性質(zhì)，筆者對這幾種曲線的光學性質(zhì)給出如下證明。</p><p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">1）拋物線的光學性質(zhì)</b></p><p class="ql-block"> 如圖1，由拋物線y2=2px焦點F發(fā)出的任意一條光線射到拋物線y2=2px上的點P（點P與原點O不重合）反射后的反射光線為PT，則PT平行于x軸.</p> <p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 證法1：設點P的坐標為（x? , y?）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;">射線PT的斜率為k，過點P作拋物線y2=2px的切線l和法線m，則</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;">I：y?y=p﹙x+x?），易得，</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> l的斜率k?=p/y? ,（y?≠0）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 直線PF的斜率k?=y?/﹙x?-p/2）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =2py?/﹙2px?-p2）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =2py?/﹙y?2-p2）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 由光的反射定律知：<3=<4</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴<1=<2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴﹝2py?/﹙y?2-p2﹚-p/y?﹞</span><span style="font-size:18px;">/</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ﹝1+﹙2p2y?﹚/﹙y?﹙y?2-p2﹚﹚﹞</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =﹝﹙p/y?﹚-k﹞</span><span style="font-size:18px;">/</span><span style="font-size:15px;">﹝1+﹙pk/y?﹚﹞</span></p><p class="ql-block"> <span style="font-size:15px;"><=>﹙py?2+p3﹚/﹙y?3+p2y?）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =﹙p-y?k﹚/﹙y?+kp）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> <=>k﹙p2+y?2﹚=0</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∵p2+y?2≠0</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴k=0</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 即，PT平行于x軸。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 特殊地，當點P與原點O重合時，PT與x軸重合。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 證法2，如圖2，過點P作PQ垂直于直線l?：x=-p/2，垂足為Q，連結(jié)Q , F，易知點Q的坐標為（-p/2，y?）.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴直線QF的斜率k?=-y?/p</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 由證法1知：I的斜率k?=p/y? ,（y?≠0）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 顯然，k?·k?=-1</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴QF⊥l</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 又∵|PQ|=|PF|</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴<3=<2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∵<1=<2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴<1=<3</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴<2+<3+<FPT =<1+<2+<FPT=180? </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 即，線段QP與射線PT共線。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴PT平行于x軸。</span></p> <p class="ql-block"><b style="color:rgb(237, 35, 8);">2）橢圓的光學性質(zhì)</b></p><p class="ql-block"> 如圖3，F(xiàn)? , F?是橢圓：</p><p class="ql-block">﹙x2/a2﹚+﹙y2/b2﹚=1的兩焦點，則由F?發(fā)出的任意一條光線經(jīng)橢圓上的一點P反射后，反射光線PT經(jīng)過焦點F? .</p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 證明：當點P與點A或B重合時，結(jié)論顯然成立.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 當點P與點A和B均不重合時，設點P的坐標為（x? , y?﹚，射線PT的斜率為k，過點P作橢圓的切線l和法線m，易知</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> I：b2x?x+a2y?y=a2b2</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 則l的斜率k?=-﹙b2x?﹚/﹙a2y?﹚,（y?≠0）</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 直線PF?的斜率k?=y?/﹙x?+c﹚</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 由光的反射定律知：<3=<4</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ∴<1=<2</span></p><p class="ql-block"> <span style="font-size:15px;"> ∴﹝﹙ y?/﹙x?+c﹚﹚+﹙b2x?/﹙a2y?﹚﹚﹞</span><span style="font-size:18px;">/ </span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ﹝1-b2x?y?/﹙a2y?﹙x?+c﹚﹚﹞</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =﹝-b2x?/﹙a2y?﹚-k﹞</span><span style="font-size:18px;">/</span><span style="font-size:15px;">﹝1-kb2x?/﹙a2y?﹚﹞</span></p><p class="ql-block"> <span style="font-size:15px;"><=>b2/﹙cy?﹚=﹙-b2x?-ka2y?﹚/﹙a2y?-b2kx?﹚</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> <=>k =b2y?﹙a2+cx?﹚/﹙b?x?-a2cy?2﹚</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =b2y?﹙a2+cx?﹚/</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> ﹙b2﹙a2-c2﹚x?-c﹙a2b2-b2x?2﹚﹚</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =b2y?﹙a2+cx?﹚/﹙b2﹙x?-c﹚﹙a2+cx?﹚﹚</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> =y?/﹙x?-c﹚</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;"> 于是射線PT所在直線的方程為</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:15px;">PT： y-y?=﹙y?/﹙x?-c﹚﹚﹙x-x?﹚，將點F?﹙c , 0﹚的坐標代入此方程顯然成立。即反射光線PT經(jīng)過焦點F?﹙c , 0﹚.</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> 雙曲線的光學性質(zhì)見教材第二冊﹙上﹚第八章的閱讀材料，該性質(zhì)的證明與橢圓的光學性質(zhì)的證明類似，請讀者嘗試。 </span></p><p class="ql-block"><i style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:15px;"> 初稿：2007.9︱劉應祥</i></p>