點(diǎn)上方超級(jí)數(shù)學(xué)建?？杉雨P(guān)注 用理性的方式去思考問題，是數(shù)學(xué)帶給你的禮物 伴隨一代賽車迷長大的著名PC游戲 《極品飛車》很久之前就已經(jīng)出到了第16代，換了全新Frostbite引擎的它已經(jīng)不再平易近人，難道只能面對(duì)自己的電腦配置默默哭泣么？不，就算沒有電腦，在紙上都能體驗(yàn)一把飛車的快感。 紙上極品飛車對(duì)配置要求不高，一支筆就行。首先你需要在一張紙上畫滿正方形格子，在這張格子紙上隨意畫出跑道的邊界，如果需要進(jìn)行多圈數(shù)的比賽，建議把跑道畫成一個(gè)閉合環(huán)路，在設(shè)計(jì)賽道的時(shí)候可以充分發(fā)揮自己的想象力，無論是五連發(fā)卡彎還是超長高速直道都由你自己決定。你甚至還可以找到各大F1賽道的平面圖來畫格子，體驗(yàn)一下更為精巧的彎道設(shè)計(jì)。適當(dāng)?shù)膶①惖雷冋梢蕴岣哂螒虻碾y度，不過要注意的是賽道過窄的話，“賽車”可能會(huì)難以前進(jìn)了。 在格子跑道上選擇一條起跑線和兩個(gè)發(fā)車點(diǎn)，你和對(duì)手就可以開始輪流移動(dòng)賽車了。注意，這個(gè)游戲的基礎(chǔ)規(guī)則中并沒有撞車一說，因此玩家的賽車是可以放置在同一個(gè)格點(diǎn)上的。 紙上如何飆車 實(shí)際上這個(gè)游戲叫做“Racetrack”。賽車的起始速度是0，在第一個(gè)回合中，玩家只能把賽車移動(dòng)到發(fā)車點(diǎn)的8個(gè)相鄰點(diǎn)上，你也可以停滯在發(fā)車點(diǎn)上不前進(jìn)。不太可能有人會(huì)選擇一開始就倒車或者停滯。因此其實(shí)可用的是發(fā)車點(diǎn)的5個(gè)相鄰點(diǎn)，如下圖所示。 在每個(gè)回合中，玩家放置賽車的位置由前一回合中賽車的行駛路徑來決定。如果你決定保持賽車的速度和方向均不變化，那么沿著你上一回合中賽車的行駛方向移動(dòng)相同的長度。如果你決定改變賽車的方向，或是給賽車加速減速，你也可以選擇它周圍的8個(gè)相鄰點(diǎn)。也就是說，你有9個(gè)可供選擇的移動(dòng)點(diǎn)來操控賽車。 如果在某一回合中，你選擇的移動(dòng)點(diǎn)恰好在賽道邊緣上或者在賽道外。那么很遺憾，這意味著賽車擦道了！你的賽車速度會(huì)立刻變?yōu)?，在下一個(gè)回合中，你只能移動(dòng)到你周圍的8個(gè)相鄰點(diǎn)上，直到你重新回到賽道上為止。和真實(shí)世界的賽車規(guī)則一樣，最后誰的賽車先沖過終點(diǎn)線誰就贏了。 快速制勝的策略 規(guī)則看上去很簡單，那對(duì)于每條賽道和固定的發(fā)車點(diǎn)來說，如果想要盡可能開的快一點(diǎn)，我們又該用什么策略來調(diào)整賽車在每一回合中的行動(dòng)呢？ 在真正的車賽中，直線賽道上的選擇非常簡單，盡可能快就可以了。真正考驗(yàn)技巧的部分在于彎道的行駛，在彎道選擇一條可靠有效的最快行車路線需要考慮以下幾個(gè)關(guān)鍵因素： 制動(dòng)點(diǎn)（Braking Point） 轉(zhuǎn)向點(diǎn)（Turn in Point） 賽道頂點(diǎn)（Apex） 出彎加油點(diǎn)（Exit Point） 高手們通常會(huì)將制動(dòng)點(diǎn)選在賽道外側(cè)，因?yàn)槿绻挥谫惖纼?nèi)側(cè)，轉(zhuǎn)向半徑小，要求的扭矩力太大。另一方面，如果制動(dòng)點(diǎn)在行車線路上選取過早，車速下降太快影響比賽成績，如果選取過晚，那么在接下來的行動(dòng)中你會(huì)錯(cuò)過轉(zhuǎn)向點(diǎn)或者在轉(zhuǎn)向的時(shí)候轉(zhuǎn)向不足，賽車將會(huì)非常容易沖出賽道，按照RaceTrack的規(guī)則，沖出賽道后賽車的速度會(huì)驟降為0，這時(shí)就只能一步一步如老牛破車一般向前蠕動(dòng)，空看著對(duì)手的車絕塵而去。 離開制動(dòng)點(diǎn)，車速已經(jīng)降下來了，這時(shí)進(jìn)入轉(zhuǎn)向點(diǎn)，它同樣位于賽道外側(cè)。太早或者太晚進(jìn)入轉(zhuǎn)向點(diǎn)，都會(huì)使得賽車錯(cuò)過賽道頂點(diǎn)。賽道頂點(diǎn)則是每個(gè)彎道內(nèi)側(cè)最頂端的點(diǎn)，如果賽車可以通過這個(gè)點(diǎn)，那么說明行車線路弧度最大，賽車可以在整個(gè)過彎的過程中保持較高的速度。出彎后抵達(dá)出彎加油點(diǎn)，這時(shí)停止一切轉(zhuǎn)向，賽車開始正常加速。 綜合以上這些原則，我們的賽車在選取最佳路徑時(shí)，掌握的原則是盡可能的在每個(gè)彎道走最大直徑的線路，調(diào)整方向的次數(shù)盡可能少，行車方向的改變盡可能的小，也就是采取我們通常所說的“外-內(nèi)-外”原則。 存在最快賽道嗎？ 有制勝策略，那能否據(jù)此確定出一條最佳賽道呢？ 一個(gè)比較簡單的結(jié)論是，最優(yōu)路徑一定存在。無論地圖再怎么復(fù)雜，只要每次一格一格地慢慢走，賽車總是能到終點(diǎn)的。如果從起點(diǎn)到終點(diǎn)的距離是 N，那么這樣走所需要的時(shí)間不會(huì)超過 2N。由于每步的決策最多有9種，2N 步以內(nèi)的所有路徑（不管能不能到終點(diǎn)）不會(huì)超過 9 2N。想要找最優(yōu)路徑，只需要在這些路徑里面找通過終點(diǎn)且時(shí)間最短的那條就可以了。從理論上說，這樣的遍歷搜索一定能告訴你最優(yōu)路徑，只不過通常會(huì)需要很長時(shí)間而已。如果最短需要20步能到終點(diǎn)，而你按照從短到長的順序去遍歷所有路徑的話，就要在找到最優(yōu)路徑之前試過1-19步的所有可能性，也就是大約 1019條路徑。這種情況下，光憑自己的大腦根本沒法找到最優(yōu)路徑。 實(shí)際上，這個(gè)問題可以歸結(jié)于尋路算法的范疇。無論是古希臘忒修斯勇闖米諾陶迷宮，用google地圖搜索從宿舍到火車站的最短路徑，還是在星際爭霸里讓機(jī)槍兵從自己基地走到敵人基地，背后都有尋路算法的影子。絕大多數(shù)尋路算法的本質(zhì)是搜索所有可能的路徑，而搜索順序才是不同算法之間關(guān)鍵的不同。 玩法擴(kuò)展 不過既然手動(dòng)找到最優(yōu)路徑幾乎不可能，那在實(shí)際游戲中就不用擔(dān)心某一方知道最優(yōu)路徑而導(dǎo)致游戲不平衡了。這無疑加大了游戲的不確定性，提醒你必須時(shí)刻采取最恰當(dāng)?shù)牟呗浴３酥?，這個(gè)有趣的游戲還有更多的擴(kuò)展規(guī)則，適當(dāng)?shù)募尤霐U(kuò)展規(guī)則會(huì)讓你的游戲更加富有變化性。 比如可以將每次行動(dòng)中可供賽車作出狀態(tài)改變的8個(gè)相鄰點(diǎn)改為4個(gè)，這個(gè)規(guī)則會(huì)讓你的賽車行動(dòng)的靈活度下降，尤其是在方向的調(diào)整上，這個(gè)規(guī)則的加入會(huì)讓某些連續(xù)彎道的處理變得更富有技巧性，實(shí)戰(zhàn)中也更能體現(xiàn)出“一步既錯(cuò)滿盤皆輸”的緊張感。 除此之外，還可以加入碰撞規(guī)則，兩輛車不可以在同一回合停留在同一點(diǎn)上，否則視為碰撞，速度變?yōu)?。這個(gè)規(guī)則改變了原游戲的復(fù)雜度，將單純的單人游戲（是的，即使是多人對(duì)戰(zhàn)，沒有碰撞規(guī)則，仍然只是單人游戲）變?yōu)榱穗p人甚至多人游戲?？炷闷疸U筆，在紙上和你的對(duì)手一起飚車吧。 via：karsus（果殼網(wǎng)） 或許數(shù)學(xué)對(duì)于你來說只是一個(gè)分?jǐn)?shù)，其實(shí)你的思維已經(jīng)改變了！ 如果覺得不錯(cuò)，歡迎贊賞，歡迎分享！ 今日推薦 支持科技教育大愛村小 【騰訊公益】 (為愛，多傳遞一次) 超級(jí)數(shù)學(xué)建模平臺(tái)，期待您的來稿！ ▌超級(jí)數(shù)學(xué)建模 超級(jí)數(shù)學(xué)建模，屬于大家的自媒體，尊重原創(chuàng)，歡迎來稿！ 投稿郵箱：supermodeling@163.com 精彩好文推薦（點(diǎn)擊即可閱讀）： 廣告：你每一次的點(diǎn)擊，都是對(duì)我們的支持！