<h3>一直以來關(guān)于《幾何原本》的文章資料是比較多的，可是因為從來沒有仔細(xì)閱讀過，所以對它產(chǎn)生了一系列的誤會，下面就某一些看法補(bǔ)充一些資料。</h3> <h3>第一，由于題目當(dāng)中有“幾何”兩個字，所以認(rèn)為這本書就是幾何課本。</h3> <h3>第二，歷來宣傳說幾何原本的作者是歐幾里德，就是他一個人。</h3> <h3>第三，很多資料上面宣傳它有23條定義，5條公設(shè)，5條公理，而且第5條公設(shè)引起了很大的爭議。</h3> 下面從目前較權(quán)威的資料上，引用部分文字。<div><br></div><div>歐幾里得·幾何原本<br>作者: 歐幾里得<br>出版社: 陜西科學(xué)技術(shù)出版社<br>譯者: 蘭紀(jì)正,朱恩寬 <br>出版年: 2003-6,2版<br>ISBN: 753690357X<br></div><div><br></div><div><br></div><div>歐幾里得在中國：漢譯《幾何原本》的源流與影響<br></div><div>作者:[荷] 安國風(fēng)<br></div><div>出版社:江蘇人民出版社<br>副標(biāo)題:漢譯《幾何原本》的源流與影響<br>原作名:euclid in china: the genesis of the first chinese translation of euclid's elements books i-vi [jihe yuanben; 1607] and its reception up to 1723<br>譯者:紀(jì)志剛/鄭誠/鄭方磊<br>出版年:2009-5<br>頁數(shù):540<br>定價:47.00元<br>叢書:海外中國研究叢書<br></div> 1.《原本》在國外的流傳<br><br>歐幾里得個人的手稿早己失傳，在很長一段時間內(nèi)是以各種文字的抄本到處流傳，而且不同文字的抄本內(nèi)容不盡相同，甚至是根據(jù)一些版本重新整理修訂的.到了公元4世紀(jì)，希臘人賽翁(Them)就是根據(jù)幾個不同版本整理了一個較為滿意的抄本.后來的學(xué)者大都根據(jù)這個抄本研究和翻譯《原本》.<br><br>1808年，在梵蒂岡圖書館發(fā)現(xiàn)了兩部歐幾里得的著作，其中之一是《原本》的希臘文抄本.拿破侖把這兩個抄本送往巴黎，經(jīng)研究認(rèn)為《原本》的這個抄本早于賽翁的抄本.從此，很多學(xué)者把注意力轉(zhuǎn)向研究梵蒂閃抄本.<br><br>據(jù)不完全統(tǒng)計，從15世紀(jì)到19世紀(jì)四百年間，《原本》共出了一千多版，僅次于圣經(jīng)的發(fā)行量.因此，要精確介紹版本的發(fā)行情況就太困難了，只能從一個方面介紹版本的印刷情況.以下僅介紹從印刷術(shù)發(fā)明以后，用不同文字在幾個國家早期印刷出版的版本.<br><br>1482年，世界上第一個印刷本《原本》在意大利出版，當(dāng)時，意大利出版家愛爾哈得(Erhard Ratbolt)在威尼斯創(chuàng)建了一個印刷廠，他主動承印了坎伯奴斯(Canpanus)由阿拉伯文譯成拉丁文的譯本.由于這個譯本成為印刷本，數(shù)量較多，流傳較廣.1486年，這個印刷本又在烏爾姆(ULM)再版.1491年，又在巴賽爾(Basel)重版.<br><br>1533年，在巴賽爾第一次印刷了格里烏(Simon Gryueng)的希臘文版本.<br><br>1558年，在德國由Soheubi翻譯出版了第VII—IX卷本.1562年又由Wilhin Holtzman翻譯出版了前六卷本.<br><br>1564年—1565年，在法國由Pierre Forcadel翻譯出版了前九卷本.<br><br>1570年，在英國倫敦第一次印刷了英文版本，由比林斯里(H. Billingsley)譯自希臘文，這個版本流傳較廣.<br><br>1576年，在西班牙由Rodrigo Camcono翻譯出版了前卷本.<br><br>1606年，荷蘭JanPieterszoon翻譯出版了前六卷本.<br><br>1739年，俄國CaTapoB用俄文翻譯出版了第一個俄文《原本》.<br><br>1744年，在瑞典由Marten Stomer翻譯出版了前六卷本.<br><br>1745年，在丹麥由Ernest Gottlieb Ziegenbaly翻譯出版了一個版本(卷數(shù)不詳).1803年，H.C.linderap又翻譯出版了一個前六卷本.請參閱文[15.19].<br><br>1873年，在日本由昌邦等人從英文版本譯成日文，第一次出版. 2.《原本》在我國的流傳<br><br>《原本》在我國刊出了多少次，有多少個不同卷數(shù)的版本，有幾種文字的版本，它們之間的關(guān)系如何.近年來，有幾位學(xué)者在這方面作了大量的、深入細(xì)致的研究工作，基本清楚了《原本》在我國的流傳概貌.他們的工作可分為以下四個方面：<br><br>明朝(1605年)，徐、利的前六卷本，清朝(1857年)，李、偉的后九卷本以及1865年十五卷本在各個時期重印的次數(shù)【19】；<br><br>幾部名曰《幾何原本》而不是歐幾里得所著的《幾何原本》的來源以及它們之間的關(guān)系；<br><br>滿文抄本的來龍去脈【13】；<br><br>唯一的一種蒙古文5卷本，1987年出版.<br><br>把以上這些版本分為三類<br><br>第一類版本<br><br>包括徐、利六卷本，李、偉九卷本及合刻十五卷本的重刻次數(shù)【4】.<br><br>1607年，徐、利六卷本第一次印刷，北京.<br><br>1611年，再刊六卷本，北京.利瑪竇的校本未能刊出，即于1610年去世，后由徐光啟等重審再刊.<br><br>1625年，李之藻刻《天學(xué)初函》叢書時，就是根據(jù)六卷本的二校本重刊并收入.法國人果第爾(H.Cordier)的《漢學(xué)書目》稱，于1758年(乾隆二十三年)將《天學(xué)初函》譯為滿文.這樣，又有一個滿文六卷本.<br><br>1787年，《四庫全書》收入六卷本.<br><br>1847年，廣東《海山仙館叢書》收入六卷本.<br><br>1939年，(或1960年)，商務(wù)印書館《叢書集成》中收入六卷本.《萬有文庫》也收入六卷本.<br><br>1906年，《幾何贅說》收入六卷本.廣東番禺潘應(yīng)祺.<br><br>1893年，江南制造局刊四卷本，共三冊；小倉山房石印六卷本，共三冊.<br><br>1857年，李善蘭，偉烈亞力合譯后九卷第一次出版.<br><br>1865年，李善蘭主持將徐、利的前六卷與李、偉的后九卷合刻成十五卷本(以后稱“明清本”).此后，又多次重印.<br><br>1878年，江南制造局刊十五卷本.<br><br>1882年，江寧藩署刊十五卷本.<br><br>1896年，上海積山書局刊十五卷縮本.<br><br>1898年，《古今算學(xué)叢書》影印十五卷本.<br><br>1983年，《徐光啟著譯集》收六卷本【4】.<br><br>以上這些版本，前六卷是同一個底本，后九卷是另一個底本.<br><br>第二類版本<br><br>在我國還出版了幾種內(nèi)容相近、結(jié)構(gòu)不同的幾何著作也稱為《幾何原本》分列于后.<br><br>《幾何原本》七卷滿文抄本，共三冊.<br><br>1688年2月法國傳教士白晉(Jachin Bouvet，1656—1730)，張誠(J. F. Gerbillon，1654—1707)來北京.康熙召他們進(jìn)宮講解幾何，他們準(zhǔn)備的幾何講稿形成了一部滿文抄本，命名《幾何原本》，共三冊，屬故宮博物院藏書.其編寫方式己與歐幾里得幾何原本結(jié)構(gòu)不同，脫離了公理化模式，內(nèi)容、體例均有變化.另一種說法，此稿可能來自法國巴蒂的《幾何原本》.這種編寫方式也許受到了當(dāng)時歐洲一些學(xué)者的影響.<br><br>《幾何原本》七卷漢文抄本，共一冊，故宮博物院藏書，經(jīng)幾位學(xué)者考證，實際上和(I)中滿文抄本同出一源.<br><br>臺北《國立中央圖書館》藏有七卷精抄本《幾何原本》.這個精抄本是劉鈍研究員于1994年去臺北講學(xué)時發(fā)現(xiàn)的，并對這個《原本》進(jìn)行了廣泛深刻考證與研究，寫下了論文[25].<br><br>此《原本》“其卷數(shù)，各卷命題數(shù)及內(nèi)容皆與北京故宮所藏滿、漢文兩種同名抄本一致.可以斷定是《數(shù)理精蘊(yùn)》系統(tǒng)的《幾何原本》，其母本是17世紀(jì)法國耶穌會士數(shù)學(xué)家巴蒂(I.G.Pardies，1636—1673)的幾何學(xué)教科書Elemens de gemetrie”.“這一紗本應(yīng)為康熙親手校訂的《數(shù)理精蘊(yùn)?幾何原本》的底稿本之一”【25】<br><br>“臺北《國立中央圖書館善本書目》(二)第06398號稱：<br><br><幾何原本七卷，泰西歐幾里得撰，利瑪竇譯，舊鈔本>.<br><br>作、譯者全誤，版本的特征交待得也不清楚，應(yīng)為：<br><br><幾何原本七卷，法國巴蒂原撰，張誠等譯，康熙手批精鈔本>【25】<br><br>文[25]中認(rèn)為以上鈔本的完成在滿文鈔本之后，也可能是由滿文本譯過來的.<br><br>《數(shù)理精蘊(yùn)》中的《幾何原本》十二卷.它與歐幾里得的《原本》結(jié)構(gòu)、體例均不同.這樣的編撰方式也許有利于初學(xué)者接受【28】.<br><br>北京故宮博物院還藏有一部《幾何原本》十二卷抄本，共四冊.與(IV)中的十二卷編撰方式不同.<br><br>有些學(xué)者認(rèn)為第二類的這些版本，很可能都來自巴蒂的《Elemens of Geometrie》的改編本.<br><br>第三類版本<br><br>近年來一些學(xué)者專門從事另一種版本的研究與翻譯工作，都是以目前世界流行的權(quán)威希思(英，Heath，Thomas Little，1861.10.5—1940.3.16)的英文《原本十三卷》為底本.己經(jīng)翻譯并出版了以下版本.<br><br>1987年，莫德翻譯出版了蒙文前五卷本(內(nèi)蒙古人民出版社).<br><br>1990年，蘭紀(jì)正、朱恩寬用現(xiàn)代漢文翻譯出版了十三卷本(陜西科學(xué)技術(shù)出版社).<br><br>1992年，用繁體字現(xiàn)代漢文出版了十三卷本(即蘭紀(jì)正、朱恩寬譯十三卷本).臺北九章出版社，由陜西科學(xué)技術(shù)出版社提供現(xiàn)代漢文底本.<br><br>經(jīng)過幾代學(xué)者的研究考證，才在最近幾年獲得了《原本》在中國流傳的概貌，大致摸清了刊出的次數(shù)，各種版本之間的關(guān)系與來源.雖然有些問題還需進(jìn)一步研究與考證，但是這己經(jīng)是一個很滿意的成果了【3】.<br><br>可將以上所述，簡單概括為以下幾種版本.<br><br>(I)歐幾里得《幾何原本》<br><br>漢文言文共16個版本，現(xiàn)代漢文2個版本.<br><br>滿文六卷本，(1758年，由《天學(xué)初函》中譯出)1個版本.<br><br>蒙文五卷本，(1987年)1個版本.<br><br>(II)改編歐幾里得《幾何原本》<br><br>漢文4個版本.<br><br>滿文七卷抄本，(1688年，給康熙的講稿)1個版本.<br><br>以上是截止目前的情況，統(tǒng)計到的用漢、滿、蒙三種文字出版的歐幾里得《原本》，共20個版本，其它改編本5個版本.也許以后還能發(fā)現(xiàn)更多的版本.<br><br>在國內(nèi)出版《原本》的次數(shù)，各版本之間的關(guān)系，來源，比較詳細(xì)且全面的論述，應(yīng)推文[3、4、19、28].<br><br>這次再版，增加了歐幾里得畫像，《原本》的俄文譯本的扉頁，日文譯本的封面和蒙古文譯本的扉頁等四幅圖.<br><br>這次再版，由蘭紀(jì)正、朱恩寬和張毓新三位教授對原文作了較全面的校正.由于我們水平有限，如有欠妥之處敬請批評指正. 《幾何原本》題名的含義<br><br>長久以來，人們都認(rèn)為題名中的“幾何”是geomemtria中g(shù)eo的音譯。然而“幾何”一詞僅在《幾何原本》翻譯后才與數(shù)學(xué)的一個分支geometry牽上聯(lián)系，《幾何原本》的譯者絕對無意參考意大利文或拉丁文詞匯geometria而定其名。底本的書名中根本不存在geometry—詞(何況卷七至卷九是數(shù)論)，中文發(fā)音在當(dāng)時也與現(xiàn)在不同，“幾”如今是的發(fā)音，但當(dāng)時讀作ki。實際上，李之藻和傅泛際(Furtado)合譯的《名理探》就將geomemtria音譯為“日阿默第亞”。最確鑿的證據(jù)就在《幾何原本》開篇：<br><br>凡造論，先當(dāng)分別解說論中所用名目，故曰界說。凡歷法、地理、樂律、算章、技藝、工巧諸事，有度有數(shù)者皆依賴十府中幾何府屬；凡論幾何，先從一點始，自點引之為線，線展為面，面積為體，是名三度。<br><br>可見，“幾何”本義與geometry無涉，系指亞里士多德的“數(shù)量”范疇，即亞氏《范疇篇》中十范疇之一。如第二章所論，克拉維烏斯將數(shù)學(xué)看作是處理“數(shù)量”(de quantitate agitur)的知識，“幾何”顯然是數(shù)學(xué)學(xué)科的統(tǒng)稱(包括幾何學(xué)、算術(shù)或數(shù)論，也包括“混合數(shù)學(xué)學(xué)科”，如天文學(xué)、機(jī)械學(xué)和光學(xué)等)。以上所引正是傳統(tǒng)的亞里士多德式的知識框架，在此框架中，部分?jǐn)?shù)學(xué)關(guān)乎數(shù)(number),部分關(guān)乎度(manitude),也正是以這個框架為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)學(xué)科被劃分為“四藝”(quadrivium)。盡管“幾何學(xué)”(對“幾何”的研究)一詞的現(xiàn)代用法即指geometry,然而起初的含義卻可回溯至亞里士多德而更為廣泛，它涵蓋了數(shù)學(xué)學(xué)科的所有領(lǐng)域?！皫缀巍钡暮x很快就更為狹窄，僅指geometry。雖有別的譯作以“幾何”嚴(yán)格指稱geometry,但最可能還是由于《原本》只有前六卷得到翻譯。<br><br>在《譯幾何原本引》中，利瑪竇和徐光啟解釋了量如何分為離散的量(數(shù))和連續(xù)的量(度)：<br><br>幾何家者，專察物之分限者也，其分者若截以為數(shù)，則顯物幾何眾也；若完以為度，則指物幾何大也。<br><br>若據(jù)第二章所論“概念質(zhì)料”的思想來解讀這段描述會很有意思：如果質(zhì)料被“截割”，就得到數(shù)，而幾何形體則構(gòu)成了連續(xù)有界的“整塊”概念質(zhì)料。<br><br>利徐遵循克拉維烏斯的《導(dǎo)言》(prolegomena)，依照革彌努斯(Geminus)的數(shù)學(xué)分科，聲稱：盡管“數(shù)”與“度”都在抽象的范疇內(nèi)進(jìn)行研究(“脫于物體而空論之”)，但對“數(shù)”的研究建立“數(shù)法家”一支，即算術(shù)(或數(shù)論)；而對“度”的研究則為“量法家”一支，即幾何學(xué)?！傲糠ā钡淖置嬉馑际恰皽y量的方法”，在此專指幾何學(xué)。這種譯法當(dāng)使其本義多有丟失。雖然本義的確是“測地”，但眾所周知，自古希臘幾何學(xué)發(fā)展以來，該詞的首要含義系指演繹幾何學(xué)，已不再是計算面積和體積的算法，而中文術(shù)語(“量法家”)則強(qiáng)烈意味著實地測量。含義的變化也許會導(dǎo)致對《幾何原本》內(nèi)容的不同解讀，這個可能性不能預(yù)先排除。數(shù)學(xué)也被統(tǒng)稱為“度數(shù)之學(xué)”，意為“對度(或量)和數(shù)的研究”。<br><br>在上一引文中，“幾何”一詞的用法也有其基本含義——“多少？”(“幾何大”、“幾何重”)“幾何”一詞在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中可謂“無處不在”?！毒耪滤阈g(shù)》的大多數(shù)問題都是這樣的形式：首先給出“已知”，然后問所求的量。最后一句總是：問某某幾何？即“求某某量是多少？”不管對象是數(shù)、重量、價格，還是幾何對象，答案總是一個數(shù)字，在幾何對象中，通常是線段的長度或面積、體積。【漢字“幾”在理學(xué)和天學(xué)中是與“易經(jīng)”相關(guān)的一個非常重要的概念，常常被解釋為“潛在影響”，以及指現(xiàn)象尚未可感時的最初表現(xiàn)形式(現(xiàn)象的最初狀態(tài))。然而這個涵義很難在復(fù)合詞“幾何”中找到。】在引用乘法表時，問句是:“九九幾何？”如葛瑞漢(A.C.Graham)寫到：與“幾何”相應(yīng)的范疇是“數(shù)”，但后來擴(kuò)展到諸如軟硬之類的性質(zhì)。這個術(shù)語也出現(xiàn)在古典文獻(xiàn)中?！境烁鹑饾h(引《管子》、《莊子》及其他)和《漢語大詞典》(引自《史記》)給出的例子外，還可以舉出兩例：“南北順橢，其衍幾何？”(屈原《天問》)，以及《左傳?襄公三十一年》中“孝伯曰：人生幾何？誰能無偷？朝不及夕，將安用樹？”】盡管筆者尚未見到它被用作名詞的例子，但古文中這個詞從問詞轉(zhuǎn)為名詞亦非難事，如英文中的how much與 the how-much。<br><br>數(shù)學(xué)著作中對“幾何”的定義見之于程大位《算法統(tǒng)宗》(1592,見第三章)：“幾何與若干相同”。對于“若干”他又說，“一為數(shù)始，十為數(shù)終，未算難定”。這個定義似乎是指某一未定之?dāng)?shù)“若干”。它絕對指今日所稱的離散的量。<br><br>很清楚，“幾何”一詞是對“數(shù)量”的翻譯，但在《幾何原本》卷五中，利瑪竇和徐光啟也用它來翻譯“度”(magnitudo，現(xiàn)代漢語術(shù)語翻譯為“量”)，該術(shù)語嚴(yán)格限指“連續(xù)的量”。后文進(jìn)一步討論卷五的定義時，筆者對此再予細(xì)說，事實上，在16世紀(jì)的歐洲，比例理論常常被視作既包含幾何又包含代數(shù)的一般理論。這種理論所討論的對象不是“度”，而是 (一般的)“量”(quantitates)。(亦可參閱第四章)例如:《崇禎歷書》中羅雅谷(Giacomo Rho)編譯的《比例規(guī)解》(Expliction of Proportfcmal Divides,1630),將所有數(shù)學(xué)問題都轉(zhuǎn)化為比例問題，然后轉(zhuǎn)化為“句股”，即“畢達(dá)哥拉斯定理的運(yùn)用”。<br><br>在著名的反基督教文集《破邪集》中，有兩處提到《幾何原本》，其中之一挑出書名中“幾何”二字，斥為荒唐。作者的佛教背景十分明顯，嘲諷道：“幾何者蓋笑天地間無幾何。”<br><br>“原本”一詞的基本含義是“根”或“源”。其引申義可指文本的原始版本，也可能有“參考書”的含義，這與克拉維烏斯提供一本幾何學(xué)手冊的意圖吻合。但利瑪竇和徐光啟選擇“原本”作為書名最可能是對ele?ments—詞的詮釋，他們解釋說 :該書名為“原本”，是因為它“明幾何之所以然”，其中“所以然”意即“理由”(reason),或照字義說：“事物本身是這樣的緣由”。雖然如此說明極為簡要，但多少與克拉維烏斯在其導(dǎo)言中對elements的解釋相一致，而這正是沿襲普羅克洛斯的觀點：elements 是一系列基本命題，要想理解阿基米德和阿波羅尼烏斯等人的著作，就必須先知道這些命題，這可與學(xué)習(xí)字母表相類比(希臘“原本”一詞stoicheia也可以指字母表)?？死S烏斯又在導(dǎo)言中的另一處將elements 比擬為實用數(shù)學(xué)知識的源泉心)，并認(rèn)為elements可以決定宇宙的結(jié)構(gòu)。另一方面，本書第三章所引程大位《算法統(tǒng)宗》中說：“河圖”與“洛書”是數(shù)學(xué)的“原本”(“輒揭河圖、洛書于首，見數(shù)有原本云”)。因此在某種意義上說,《幾何原本》就是要為數(shù)學(xué)“正本清源”！ 幾何學(xué)的起源并不是像西方人說的那樣，發(fā)祥地在埃及.實際上，與埃及同時代的中國、印度、巴比倫的學(xué)者們也己開始了對幾何學(xué)的研究.各國都不同程度的留下了各自的研究成果，其研究方法各有所長.中國的學(xué)者多注重算法，也有邏輯演繹的證明，同樣獲得了豐富的成果.<br><br>問世前的概況<br><br>古代埃及遺留下來的最早數(shù)學(xué)著作要算兩部紙草卷，一部保存在俄國莫斯科，另一部保存在英國倫敦博物館.后一部是埃及人阿麥斯(Ahmes，約公元前1700)的著作，英國人林德(Rhind)發(fā)現(xiàn)了此卷，經(jīng)伯爾契(Birch，1868，約同治七年)解算.書的開始，寫著一句話“獲得一切奧秘的指南.”此卷中除其它數(shù)學(xué)外還有幾何問題，大部分題目只有結(jié)論，少有解題過程，這一點似乎是古代數(shù)學(xué)著作的普遍現(xiàn)象【16】.公元七世紀(jì)左右，埃及、希臘在商業(yè)上的頻繁貿(mào)易促進(jìn)了兩地的文化大交流，希臘很多學(xué)者去埃及學(xué)習(xí)、講學(xué).當(dāng)時，大數(shù)學(xué)家泰列斯(Thales，大約公642元前640—546)研究過三角形，面積，體積，他利用金字塔的影子測得了塔高，在公元前585年準(zhǔn)確的預(yù)報了一次日蝕，使得埃及國王阿美西斯Amasis)驚嘆不己.<br><br>畢達(dá)哥拉斯(Pythap，公元前580—500)是泰列斯的學(xué)生，其學(xué)派成就很大【18】.但是，沒有留下書面材料，僅僅通過普羅克魯(Proclus，412—485)在注解《原本》第一卷時，在他抄錄阿達(dá)馬斯(Eudamus，公元前335年左右)的《幾何史》中發(fā)現(xiàn)了關(guān)于畢達(dá)哥拉斯的成就，得知畢氏研究過三角形，平行線，拐尺形、多邊形…，勾股定理，并發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)在數(shù)學(xué)方法上初步涉及到演繹法，又在證明命題時用了歸謬法.早期的《原本》中第V卷命題117是A無理性的證明.但是，在希思(Heath)的《原本十三卷》中沒有此命題.畢達(dá)哥拉斯之前，大約公元前3500年左右，巴比倫人就知道了三邊長分別為120、119、169的三角形是直角三角形.到了畢氏時代，人們對直角三角形有了更深入的研宄，畢氏把直角三角形三邊之間的關(guān)系歸納為$x^2+ y^2= z^2$($x$， $y$為直角三角形兩直角邊，$z$為斜邊).又如，三組數(shù)$2n +1$，$2n^2+2n$，$2n^2+2n +1$就適合這個等式(方程)【16】.<br><br>大約在我國戰(zhàn)國之前的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中己經(jīng)有“勾三股四弦五”的記載.我們稱這種關(guān)系式為陳子定理，而西方人則稱為畢氏定理.此定理是《原本》第一卷命題47，它以面積的形式出現(xiàn)，命題48是命題47的逆命題.此命題在以后數(shù)學(xué)中的作用很大，引起人們的重視，證法很多.特別是，后世數(shù)學(xué)家對這個關(guān)系式$x^2+ y^2= z^2$作了更深入的研究和發(fā)展，獲得了大量的重要結(jié)果，引出了驚世的發(fā)現(xiàn)(費(fèi)馬大定理，法國).<br><br>歐多克索斯(Eudoxus，公元前460—357)是阿爾契塔斯(Archytes)的學(xué)生，研究過棱錐，棱柱的體積，無理數(shù)理論，給出了線段的黃金分割方法，最大的貢獻(xiàn)是為比例論建立了一套完整的理論系統(tǒng).后來，人們經(jīng)常把《原本》中的比例論稱做歐道克索斯比例論.他又嘗試著用演繹法代替實驗法，并主張每個命題的證明應(yīng)有根據(jù).從而，把演繹法引入了幾何的證明中.<br><br>安蒂豐(Antiphon，大約公元前430)為了研究作圖題“圓積化方”(求作一個正方形，使其面積等于一個己知圓的面積)而引出了“窮竭法”，用圓的內(nèi)接正多邊形周長逼近圓周得到了圓的周長.<br><br>漢克爾(德，Hankel，Hermann，1839—1874)認(rèn)為“窮竭法”是希波克拉斯給出的.因為，希氏用窮竭法證明了兩圓之比等于其直徑平方之比(《原本》第XI卷，命題2，其中還用到了歸謬法)【8】.<br><br>柏拉圖(plato，公元前426—347)是希臘有名的哲學(xué)家，受畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響很深，特別重視幾何，對幾何發(fā)展起了很大的推動作用.他主張用抽象理論研究幾何，并提出要把邏輯方法引進(jìn)幾何，藉以改革以往的敘述方法.重視嚴(yán)密的定義、公理，認(rèn)為公理與定理的意義、地位上應(yīng)有區(qū)別，公理應(yīng)是量的關(guān)系.歐幾里得的公理是五條量的關(guān)系，這也許受到柏拉圖的影響.柏氏的主張對以后把演繹法引入數(shù)學(xué)啟發(fā)很大，影響深遠(yuǎn).<br><br>亞里斯多德(Aristotle，公元前384—322)是柏拉圖的學(xué)生，他在哲學(xué)上的成就遠(yuǎn)超過在數(shù)學(xué)上的成就，他的名著《形而上學(xué)》(有中譯本)中的形式邏輯深深的影響了以后自然科學(xué)的推理方法與系統(tǒng)化.特別是給數(shù)學(xué)的公理化提供了理論和方法基礎(chǔ).另外，他還要用哲學(xué)思想為指導(dǎo)，在大量的科學(xué)成果中去發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律和處理問題的統(tǒng)一方法(見他的《工具論》).很多學(xué)者也想把大量的數(shù)學(xué)成果系統(tǒng)化，但都缺乏明確的認(rèn)識，沒有處理問題的方法.<br><br>到了歐幾里得時代，數(shù)學(xué)己經(jīng)積累了大量成果，有了證明命題的具體方法(如，歸謬法，窮竭法等)，形式邏輯的三段論法又提供了數(shù)學(xué)演繹法的哲學(xué)基礎(chǔ)，這一切都給歐幾里得《原本》的形成起了奠基作用.從而使得歐幾里得能夠?qū)懗鲆徊抗砘臄?shù)學(xué)典范《原本》.<br><br>《原本》共十三卷，以后有人續(xù)寫了兩卷(即第XIV卷，第XV卷).因此，以后在世界流傳著《原本》十三卷本與十五卷本.如，希思的《原本十三卷》與我國刊出的《明清本》十五卷. 歐幾里得傳略<br><br>歐幾里得（拉丁文Euclides或Eucleides,希臘文略，公元前300年前后）是希臘數(shù)學(xué)家，以其所著的《幾何原本》（Elements)聞名于世.對于他的生平，現(xiàn)在知道的很少.他生活的年代，是根據(jù)下列的記載來確定的.普羅克洛斯（Proclus,412?—485)是雅典柏拉圖學(xué)園【柏拉圖（Plato,公元前427—前347)在公元前387年建立的著名學(xué)習(xí)場所】晚期的導(dǎo)師，公元450年左右，他給《幾何原本》作注，寫了一個簡明的《幾何學(xué)發(fā)展概要》（以下簡稱《概要》），字?jǐn)?shù)雖不多，但已包括從泰勒斯（Thales,公元前640?—546?)到歐幾里得數(shù)百年間主要數(shù)學(xué)家的事跡，這是幾何學(xué)史的重要資料.《概要》中指出，歐幾里得是托勒密一世【Ptolemy I,托勒密王國的創(chuàng)建者，公元前323—前285在位，建都在亞歷山大。】時代的人，早年學(xué)于雅典，深知柏拉圖的學(xué)說。又說阿基米德（Archimedes,公元前287—前212)的書引用過《幾何原本》的命題【阿基米德《論球與圓柱》（On the Sphere and Cylinder)I命題6明確指出引用了《幾何原本》XⅡ的證明。】，可見他早于阿基米德.另一位學(xué)者帕波斯（Pappus,公元300—350前后）在《數(shù)學(xué)匯編》中提到阿波羅尼奧斯（Apollonius,約公元前225)長期住在亞歷山大，和歐幾里得的學(xué)生在一起，這說明歐幾里得在亞歷山大教過學(xué).綜上所述，歐幾里得應(yīng)該是公元前300年前后的人.<br><br>《概要》還記述了這樣一則故事：托勒密王問歐幾里得說，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學(xué)習(xí)幾何的捷徑.歐幾里得回答道:“在幾何里，沒有專為國王鋪設(shè)的大道。”（There is no royal road to geometry.)這句話成為傳誦千古的學(xué)習(xí)箴言【另一種說法認(rèn)為這是門奈赫莫斯（Menaechmus)和亞歷山大王的故事。】。斯托比亞斯（Stobaeus，約公元500年）記述另一則故事，說一個學(xué)生才開始學(xué)習(xí)第一個命題，就問學(xué)了幾何學(xué)之后將得到些什么.歐幾里得說:“給他三個錢幣，因為他想在學(xué)習(xí)中獲取實利.”由此可知?dú)W幾里得主張學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn)、刻苦鉆研，不贊成投機(jī)取巧的作風(fēng)，也反對狹隘實用觀點.帕波斯特別贊賞歐幾里得的謙遜，他從不掠人之美，也沒有聲稱過哪些是自己的獨(dú)創(chuàng).而阿波羅尼奧斯則不然，他過分突出自己，明明是歐幾里得研究過的工作，他在《圓錐曲線論》（Conics)中也沒有歸功于歐幾里得。<br><br>除了《幾何原本》之外，歐幾里得還有不少著作，可惜大都失傳，唯一保存下來的純粹幾何著作（希臘文）是《已知數(shù)》（The Date)，體例和《幾何原本》前六卷相似，包括94個命題，指出若圖形中的某些元素已知，則另外的一些元素也可以確定.《圖形的分割》（On Divisions of Figures)現(xiàn)存拉丁文與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分.《光學(xué)》（Optica)是早期的幾何光學(xué)著作之一，研究透視問題，指出光的入射角等于反射角，認(rèn)為視覺是眼睛發(fā)出光線到達(dá)物體的結(jié)果等.還有一些著作未能確定是否屬于歐幾里得，而且已經(jīng)散失. 《幾何原本》產(chǎn)生的歷史背景<br><br>歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時代的著作.其偉大的歷史意義在于它是用公理建立起演繹體系的最早典范.過去所積累下來的數(shù)學(xué)知識，是零碎的、片斷的，可以比作木石、磚瓦.只有借助于邏輯方法,把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭示彼此間的內(nèi)在聯(lián)系，整理在一個嚴(yán)密的系統(tǒng)之中，才能建成巍峨的大廈.《幾何原本》(以下簡稱《原本》）完成了這一艱巨的任務(wù)，它對整個數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.<br><br>《原本》的出現(xiàn)不是偶然的，在它之前，已有許多希臘學(xué)者做了大量的前驅(qū)工作.從泰勒斯算起，已有三百多年的歷史.泰勒斯是希臘第一個哲學(xué)學(xué)派——伊奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)建者.伊奧尼亞地處小亞細(xì)亞西岸，它比希臘其他地區(qū)更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經(jīng)驗和文化.在那里，氏族貴族政治為商人的統(tǒng)治所代替，商人具有強(qiáng)烈的活動性和冒險性，這有利于思想自由而大膽地發(fā)展.城邦內(nèi)部的斗爭幫助擺脫傳統(tǒng)的信念.希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當(dāng)程度的思想自由.科學(xué)和哲學(xué)開始從宗教分離開來.泰勒斯早年是一個商人，通過商業(yè)旅游，很快就掌握了古代流傳下來的知識，并加以發(fā)揚(yáng).他企圖擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理.對一切科學(xué)問題不滿足于知其然，而且還要探索所以然的道理.他對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)開始了命題的證明.所謂證明，就是借助一些公理或真實性業(yè)經(jīng)確定的命題來論證某一命題的真實性.這為建立幾何的演繹體系邁出了可貴的第一步，在數(shù)學(xué)史上是一個不尋常的飛躍.<br><br>接著是畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前580?—前500?)學(xué)派，活動于意大利半島南部一帶.這個學(xué)派企圖用數(shù)來解釋一切，進(jìn)一步將數(shù)學(xué)從具體應(yīng)用中抽象出來，建立自己的理論體系.他們發(fā)現(xiàn)了勾股定理、不可通約量，并知道五種正多面體的存在，這些后來都成為《原本》的重要內(nèi)容.這個學(xué)派的另一特點是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來，為《原本》算術(shù)的幾何化提供了榜樣.<br><br>希、波戰(zhàn)爭以后，雅典成為人文薈萃的中心.雅典的智者（Sophist,一譯詭辯）學(xué)派提出幾何作圖的三大問題：1.三等分任意角；2.倍立方——求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍;3.化圓為方——求作一正方形，使其面積等于一已知圓.問題的難處，是作圖只許用直尺和圓規(guī).希臘人的興趣并不在于圖形的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題.這是幾何學(xué)從實際應(yīng)用向演繹體系靠近的又一步.作圖只能用尺規(guī)的限制最先是伊諾皮迪斯（Oenopedes，約公元前465年）提出的，后來《原本》用公設(shè)的形式規(guī)定下來【《原本》卷I根出5個公設(shè)，頭3條就是對作圖的規(guī)定：(1)兩點間可連一直線；（2)線段可任意延長；（3)以任意點為心,任意距離可作一圓.根據(jù)這幾條公設(shè)，作圖就只能用直尺圓規(guī).】，于是成為希臘幾何的金科玉律.<br><br>智人學(xué)派的安蒂豐（Antiphon，約公元前430年）為了解決化圓為方問題，提出頗有價值的“窮竭法"（method of exhaustion)，孕育著近代極限論的思想.后來經(jīng)過歐多克索斯（Eudoxus，公元前408?—前355?)的改進(jìn)，使其嚴(yán)格化，成為《原本》中重要的證明方法埃利亞（意大利半島南端）學(xué)派的芝諾（Zeno，約公元前450年）提出四個悖論【參見梁宗巨《世界數(shù)學(xué)史簡編》（1980)PP.103-105】，迫使哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家深入思考無窮的問題.無窮歷來是爭論的焦點，在《原本》中，歐幾里得實際上是回避了這一矛盾.例如《原本》第IX卷20命題說:“素數(shù)的個數(shù)比任意給定的素數(shù)都多”，而不用我們現(xiàn)在更簡單的說法:素數(shù)無窮多.<br><br>原子論學(xué)派的德謨克利特（Democritus，約公元前410年）用原子法得到的結(jié)論:錐體體積是同底等高柱體的$1/3$,后來也是《原本》中的重要命題.<br><br>柏拉圖學(xué)派的思想對歐幾里得無疑產(chǎn)生過深刻的影響，歐幾里得早年也許就是這個學(xué)派的成員.公元前387年左右，柏拉圖在雅典創(chuàng)辦哲學(xué)學(xué)園（Academia)【在雅典近郊，原是運(yùn)動場，后改為園林，因希臘英雄阿卡德莫斯(Academus)而得名，后世“學(xué)院”（英acdemy）一詞由此而來.】，他非常重視數(shù)學(xué)，但片面強(qiáng)調(diào)在訓(xùn)練智力方面的作用，而忽視其實用價值.他主張通過幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力，因為幾何能給人以強(qiáng)烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.他在學(xué)園門前大書：“不懂幾何者免進(jìn)”（Let no one ignorant of geometry enter my door)，是盡人皆知的事。<br><br>柏拉圖的門徒亞里士多德（Aristotel，公元前384—前322)是形式邏輯的奠基者.他的邏輯思想為日后將幾何整理在嚴(yán)密的體系之中創(chuàng)造了必要的條件.<br><br>這個學(xué)派另一個重要人物歐多克索斯創(chuàng)立了比例論.過去畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的比例論只適用于可通約量，歐多克索斯打破了這個限制，用公理法建立理論，使得比例也適用于不可通約量.《原本》第V卷比例論大部分采自歐多克索斯的工作.<br><br>公元前4世紀(jì)，希臘幾何學(xué)已經(jīng)積累了大量的知識，邏輯學(xué)理論漸臻成熟，由來已久的公理化思想更是大勢所趨.這時，形成一個嚴(yán)整的幾何結(jié)構(gòu)已是“山雨欲來風(fēng)滿樓”了.<br><br>建筑師沒有創(chuàng)造木石磚瓦，但利用現(xiàn)有的材料來建成大廈也是一項不平凡的創(chuàng)造.公理的選擇，定義的給出，內(nèi)容的編排，方法的運(yùn)用特別是命題的嚴(yán)格證明都需要有高度的智慧并要付出巨大的勞動.從事這宏偉工作的并不是個別的學(xué)者，在歐幾里得之前已有好幾個數(shù)學(xué)家做過這種綜合整理工作。其中有希波克拉底（Hippocrates，約公兀前460年），勒俄（Leo或Leon,公元前4世紀(jì)），修迪奧斯（Theudius，公元前4世紀(jì)）等.但經(jīng)得起歷史考驗的，只有歐幾里得的《原本》一種，其余的同類著作均已散失.在漫長的歲月里，歐幾里得《原本》歷盡滄桑而沒有被淘汰，表明它有頑強(qiáng)的生命力.它的公理化思想和方法，將繼續(xù)照耀著數(shù)學(xué)前進(jìn)的道路. 版本和流傳<br><br>歐幾里得本人的《原本》手稿早已失傳，現(xiàn)在看到的各種版本都是根據(jù)后人的修訂本、注釋本、翻譯本重新整理出來的.古希臘的海倫(Heron，約公元62年），波菲里奧斯（Porphyrius，232?—304?)，帕波斯（Pappus，約公元300年），辛普休斯(Simplicius，6世紀(jì)前半葉）等人注釋過。最重要的是賽翁（Theon，約公元390年）的修訂本，對原文做了?？焙脱a(bǔ)充，這個本子是后來所有流行的希臘文本及譯本的基礎(chǔ).賽翁是亞歷山大人，那時離歐幾里得已有700年，賽翁究竟做了多少補(bǔ)充和修改，在19世紀(jì)之前是不清楚的.19世紀(jì)初，拿破侖稱雄歐洲，1808年他在梵蒂岡圖書館找到一些希臘文的手稿，帶冋巴黎.其中有兩本歐幾里得著作的手抄本，以后為佩拉爾（F.Peyrard，1760—1822)所得。1814—1818年，佩拉爾將這兩本書用希臘、拉丁、法三種文字出版,一本是《原本》，另一本是《已知數(shù)》，通常叫做梵蒂岡本.《原本》的梵蒂岡本和過去的版本不同，過去的版本都聲稱來自賽翁的版本，而且包含卷VI第33命題.賽翁在注釋托勒密（Ptolemy,約公元150年）的書時自稱他在注《原本》時曾擴(kuò)充了這個命題并加以證明.而梵蒂岡本沒有上述這些內(nèi)容，可見是賽翁之前的本子，當(dāng)更接近歐幾里得的原著.<br><br>9世紀(jì)以后，大量的希臘著作被譯成阿拉伯文.《原本》的阿拉伯文譯本主要有三種:第一種譯者是赫賈季（9世紀(jì)）；第二種是伊沙格（？-910)，這一種后來為塔比?伊本?庫拉（826?—901)所修訂，一般稱為伊沙格—塔比本;還有一種是納西爾??。?201—1274)譯的。<br><br>現(xiàn)存的最早拉丁文本是1120年左右阿德拉德（Adelard of Bath)從阿拉伯文譯過來的.后來杰拉德（Gemrd of Cremona,1114—1187)又從伊沙格—塔比本譯出。1255年左右，坎帕努斯（Campanus of Novara，?—1296,意大利諾瓦拉人）參考數(shù)種阿拉伯文本及早期的拉丁文文本重新將《原本》譯成拉丁文.兩百多年之后（1482年）以印刷本的形式在威尼斯出版，這是西方最早印刷的數(shù)學(xué)書.在這之后到19世紀(jì)末，《原本》的印刷本用各種文字出了一千版以上.從來沒有一本科學(xué)書籍像《原本》那樣長期成為廣大學(xué)子傳誦的讀物.它流傳之廣，影響之大，僅次于基督教的《圣經(jīng)》.<br><br>15世紀(jì)以后，學(xué)者們的注意力轉(zhuǎn)向希臘文本，贊貝蒂（BartolomeoZamberti，約生于1473年）第一次直接從賽翁的希臘文本譯成拉丁文，1505年在威尼斯出版.<br><br>目前權(quán)威的版本是海伯格（John Ludwig Heiberg，1854—1928,丹麥人）與門格（H.Menge)校訂注釋的Euclidis Opera Omnia(《歐幾里得全集》，1883—1916年出版），是希臘文與拉丁文對照本.最早的完整英譯本（1570年）的譯者是比林斯利（Henry Billingsley,?—1606)。而最流行的標(biāo)準(zhǔn)英譯本是希思（Thomas Little Heath，1861—1940,英國人）譯注的The Thirteen Books of Euclid's Elements(《歐幾里得幾何原本十三卷》，1908年初版，1925年再版，1956年新版），這書譯自上述的海伯格本，附有一篇長達(dá)150多頁的導(dǎo)言，實際是對歐幾里得研究的歷史總結(jié)，又對每章節(jié)都做了詳細(xì)的注釋，其他文字的版本，包括意、德、法、荷、英、西、俄、瑞典、丹麥以及現(xiàn)代希臘等語種，此書導(dǎo)言均有論例【近年來的翻譯情況參見莫德《〈幾何原本〉在國內(nèi)外流傳概況》（全國《幾何原本》翻譯與研究學(xué)術(shù)會議論文,1986)】.<br><br>中國最早的漢譯本是1607年（明萬歷三十五年丁未）利瑪竇(Matteo Ricci，1552—1610)和徐光啟（1562—1633)合譯出版的。所根據(jù)的版本是德國人克拉維烏斯（C.Clavius，1537—1612)校訂增補(bǔ)的拉丁文本Euclidis Elementorum Libri XV(《歐幾里得原本十五卷》，1574年初版，以后再版多次），定名為《幾何原本》，“幾何”的名稱就是這樣來的【翻譯的詳細(xì)經(jīng)過見梅榮照、王渝生、劉鈍.歐幾里得《原本》的傳入和對我國明清數(shù)學(xué)的影響.載席澤宗、吳德鐸主編《徐光啟研究論文集》（1986）p.49—63】.<br><br>有的學(xué)者認(rèn)為元代（13世紀(jì)）《原本》已經(jīng)輸入中國，根據(jù)是元代王士點、商企翁《元秘書監(jiān)志》卷七“回回書籍”條有《兀忽烈四孽算法段數(shù)十五部》的書目，其中兀忽列的應(yīng)是Euclid的音譯【嚴(yán)敦杰《歐幾里得幾何原本元代輸入中國說》，載《東方雜志》39卷(1943)13號。又李儼《中國算學(xué)史》（1955)P.139.】.但也有可能仍是阿拉伯文本，只譯出書名，后說似更可信.<br><br>克拉維烏斯本是增補(bǔ)本，和原著有很大的出入.歐幾里得原著只有十三卷，十四、十五卷是后人添加上去的.十四卷一般認(rèn)為出自許普西克勒斯（Hypsicles，約公元前180年）之手，而十五卷是6世紀(jì)初大馬士革烏斯（Damascius,敘利亞人）所著.<br><br>利瑪竇、徐光啟共同譯完前六卷之后，徐光啟說：“意方銳，欲竟之。”利瑪竇不同意，說:“止，請先傳此，使同志者習(xí)之，果以為用也，而后徐計其余，【利瑪竇《譯〈幾何原本〉引》】三年之后，利瑪竇去世，留下校訂的手稿.徐光啟據(jù)此將前六卷舊稿再一次加以修改，重新刊刻傳世.他對未能完成全部的翻譯而深表遺憾，在《題〈幾何原本〉再校本》中感嘆道:“續(xù)成大業(yè)，未知何日，未知何人，書以俟焉。”<br><br>整整250年之后，到1857年，后九卷才由英國人偉烈亞力（Alexander Wylie，1815—1887)和李善蘭（1811—1882)共同譯出。但所根據(jù)的底本已不是克拉維烏斯的拉丁文本，而是另一種英文版本.偉烈亞力在序中只提到底本是希臘文譯成英文的本子，按照英譯本的流傳情況，可能性最大的是巴羅（Isaac Barrow，1630—1677,牛頓的老師）的十五卷英譯本【錢寶琮《中國數(shù)學(xué)史》（1964)P.324】，他在1655年將希臘文本譯成拉丁文，1660年又譯成英文.<br><br>徐、利譯前六卷（通稱“明本”）時，在“原本”之前加上“幾何”二字，稱譯本為《幾何原本》.李、偉的后九卷（通稱“清本”，兩者合稱“明清本”）沿用這個名稱一直到現(xiàn)在.這“幾何”二字是怎樣來的？目前有三種說法:1.幾何是geometria字頭geo的音譯。此說頗為流行，源出于艾約瑟（Josph Edkins，1825—1905)的猜想，記在日本中村正直(1832—1891)的書（1873)中【林鶴一《和算研究集》下卷（1937)，《幾何卜代數(shù)卜丿語源二就亍》p.403】。那時離《原本》的最初翻譯已二百多年，雖屬猜想，倒不見得全無道理.2.在漢語里，幾何原是多少、若干的意思【這種用法很早就有，如《詩經(jīng)?小雅?巧言》（周初到春秋中葉的書）里有“爾居徒幾何?”；《左傳?僖公二十七年》（公元前5世紀(jì)）有“所獲幾何?”的話.】，而《原本》實際包括了當(dāng)時的全部數(shù)學(xué)，故幾何是mathematica(數(shù)學(xué)）或magnitude(大?。┑囊庾g.3.《原本》前六卷講幾何，七至十卷是數(shù)論，但全用幾何方式來敘述，其余各卷也講幾何，所以基本上是一部幾何書.內(nèi)容和中國傳統(tǒng)的算學(xué)很不相同。為了區(qū)別起見，應(yīng)創(chuàng)新詞來表達(dá).幾何二字既和geometria的字頭音近，又反映了數(shù)量大小的關(guān)系，采用這兩個字可以音、意兼顧【過去很講究音意兼顧的譯法，如club譯“俱樂部”，音樂中七個唱名do、re、mi、fa、sol、la、si譯成“獨(dú)覽梅花掃落雪”。學(xué)中topology譯“拓?fù)洹痹缫淹ㄐ?，而fuzzy譯“乏晰”本甚佳，惜未通行.】這也許更接近徐、利二氏的原意【梁宗巨.《世界數(shù)學(xué)史簡編》（1980)P.91】. 內(nèi)容簡介<br><br>第I卷首先給出23個定義.如“點是沒有部分的”，“線只有長度而沒有寬度”等等.還有平面、直角、垂直、銳角、鈍角、平行線等定義。前面的7個定義實際上只是幾何形象的直觀描述，后面的推理完全沒有用到.接著是5個公設(shè)，前4個是顯而易見的，第5個很復(fù)雜:“若一直線與兩直線相交，所構(gòu)成同旁內(nèi)角小于二直角，那么，把這兩直線延長，一定在那兩內(nèi)角的一側(cè)相交.”這就是后來引起許多糾紛的“歐幾里得平行公設(shè)”或簡稱第5公設(shè).大家很快就認(rèn)為，歐幾里得把這一命題列為公設(shè),不是因為它不能證明，而是找不到證明.這實在是《原本》這部千古不朽巨著的白璧微瑕.從《原本》的產(chǎn)生到19世紀(jì)初，許多學(xué)者投入無窮無盡的精力，力圖洗刷這唯一的“污點”，最后導(dǎo)致非歐幾何的建立.<br><br>公設(shè)之后是5個公理，近代數(shù)學(xué)不分公設(shè)與公理，凡是基本假定都叫公理.《原本》后面各卷不再列出其他公理.這一卷在公理之后給出48個命題.命題4是“兩三角形兩邊與夾角對應(yīng)相等，則這兩三角形相等這里相等指的是全等，即兩圖形可以重合.但在35命題以后，相等又有另外的含義，它可以指面積相等.不過歐幾里得從來沒有把面積看作一個數(shù)來加以運(yùn)算，面積相等是指“拼補(bǔ)相等”.<br><br>中世紀(jì)時，歐洲數(shù)學(xué)水平很低，學(xué)生初讀《原本》，學(xué)到第5命題“等腰三角形底角必相等”時就覺得很困難.因此這個命題被謔稱為“驢橋”（pons asinorum，英文asses’ bridge,意思是“笨蛋的難關(guān)”）。第47命題就是有名的勾股定理:“在直角三角形斜邊上的正方形（以斜邊為邊的正方形）等于直角邊上兩個正方形.”<br><br>第II卷包括14個命題，用幾何的語言敘述代數(shù)的恒等式.如命題4“將一線段任意分為兩部分，在整個線段上的正方形等于在部分線段上的兩個正方形加上這兩個部分線段為邊的矩形的二倍”就相當(dāng)于$（a+b)^2=a^2+2ab+b^2$第11命題是分線段為中末比，后來被稱為黃金分割，第12、13命題相當(dāng)于余弦定理。<br><br>第III卷有37個命題,討論圓、弦、切線、圓周角、內(nèi)接四邊形及與圓有關(guān)的圖形.<br><br>第IV卷有16個命題，包括圓內(nèi)接與外切三角形、正方形的研究，圓內(nèi)接正多邊形(5邊、10邊、15邊）的作圖.<br><br>第V卷是比例論.后世的評論家認(rèn)為這是《原本》的最高成就.畢達(dá)哥斯學(xué)派過去雖然也建立了比例論，不過只適用于可公度量.如果a，b兩個量可公度，那么是一個數(shù)（有理數(shù)）.但若不可通約，希臘人包括歐幾里得就根本不承認(rèn)a:b是一個數(shù).為了擺脫這一困境，歐多克索斯用公理法重新建立了比例論,使它適用于一切可公度與不可通約的量【有的學(xué)者認(rèn)為歐多克索斯的比例論已含有近代無理數(shù)論的“戴德金（R.Dedekind)分劃”的思想萌芽.見《幾何學(xué)基礎(chǔ)》（1948)。蘇步青譯本（1954)p.20】.這一卷主要取材于歐多克索斯的工作，給出25個命題.<br><br>第VI卷把V卷已建立的理論用到平面圖形上去，共33個命題.<br><br>第VII、VIII、IX三卷是數(shù)論，分別有39、27、36個命題，也完全用幾何的方式敘述，第VII卷第I命題是歐幾里得輾轉(zhuǎn)運(yùn)算法的出處。第IX卷第20命題是數(shù)論中的歐幾里得定理：素數(shù)的個數(shù)無窮多.<br><br>第X卷是篇幅最大的一卷，包含115個命題，占全書1/4,和其他各卷不很相稱.主要討論無理量（與給定的量不可通約的量），但只涉<br><br>及相當(dāng)于之類的無理量.第1個命題“給定大小兩個量，從大量中減去它的一大半，再從剩下的量中減去它的一大半，這樣重復(fù)這一手續(xù)，可使所余的量小于所給的小量”相當(dāng)重要，它是極限論的雛形，也是“窮竭法”的理論基礎(chǔ)，和后面各卷有密切關(guān)系.<br><br>第XI卷討論空間的直線與平面的各種關(guān)系。第XII卷利用窮竭法證明“圓面積的比等于直徑平方的比”.用現(xiàn)在的符號來表示就是$A\propto d^2$，或$A=kd^2$(A表圓面積,d表直徑），但歐幾里得卻沒有說這比例常數(shù)是多少。此外還證明“球體積的比等于直徑立方的比”、“錐體體積等于同底等高的柱體的$1/3$”等.<br><br>第XIII卷著重研究5種正多面體.<br><br>公理化結(jié)構(gòu)是近代數(shù)學(xué)的主要特征.而《原本》是完成公理化結(jié)構(gòu)的最早典范，它產(chǎn)生于兩千多年前，這是難能可貴的.不過用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)去衡量，也有不少缺點.首先，一個公理系統(tǒng)都有若干原始概念，或稱不定義概念，作為其他概念定義的基礎(chǔ).點、線、面就屬于這一類.而在《原本》中一一給出定義，這些定義本身就是含混不清的.例如定義4:“直線是這樣的線，在它上面的點都是高低相同地放置著的.”【英譯“A straight line is a line which lies evenly with the points on itself”, even with可譯作與……一般齊，例如The snow is even with the ，積雪與窗平齊.】就很費(fèi) 解，而且后面的證明完全沒有用到.其次是公理系統(tǒng)不完備，沒有運(yùn)動、順序、連續(xù)性等公理，所以許多證明不得不借助于直觀.此外，有的公理不是獨(dú)立的，即可以由別的公理推出（如“直角必相等”）.這些缺陷直到1899年希爾伯特（David Hilbert, 1862—1943)的《幾何基礎(chǔ)》（Grunndlagen der Geometrie，傅種孫、韓桂叢合譯，1924;江澤涵等譯，1958)出版才得到了補(bǔ)救.盡管如此,畢竟瑕不掩瑜，《原本》開創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化的正確道路，對整個數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，超過了歷史上任何其他著作. 《幾何原本》的著者歐幾里得(Euclid)，大約生活在公元前300年左右.當(dāng)時希臘科學(xué)發(fā)展處于鼎盛時期，代表埃及、希臘數(shù)學(xué)成就最高水平的就是《幾何原本》.這一數(shù)學(xué)史上最負(fù)盛名的巨著，不僅使許多數(shù)學(xué)著作相形見絀，而且對后世數(shù)學(xué)及自然科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極其深刻的影響，其數(shù)學(xué)思想和方法支配了數(shù)學(xué)兩千多年.<br><br>根據(jù)史料記載，《幾何原本》的內(nèi)容可能吸取了前人的成果.原著共十三卷，第I—IV卷和第VII、IX卷，可能來自畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的著作;第VIII卷可能來自阿爾希塔斯(Archytas)的著作;第V、VI和第VII卷的部分內(nèi)容可能來自歐多克索斯(Eudoxus)的著作;第X和XII 卷可能來自泰特托斯(Theaetetus)的著作.但是，也有人認(rèn)為最難讀的第 X卷(十三種無理線段)是歐幾里得本人的研究成果.“反證法”是他的創(chuàng)造(在第一卷命題7的證明中第一次應(yīng)用)，后來的人續(xù)寫了第XIV卷和第XV卷.又據(jù)記載，第XIV是亞力山大的許普西克勒斯(Hypsicles)，約公元前180年或150年左右撰寫的，第XV卷是六世紀(jì)初敘利亞人大馬士革烏斯(Damascius)所著.因此，世界流傳著《幾何原本》的十三卷本和十五卷本.<br><br>《幾何原本》的十五卷本曾在我國被分作兩次譯出.第一次是在明萬歷丁未年(1607年)，由泰西(意大利)傳教士利瑪竇口授，國人徐光啟(1562—1633年)筆錄，將前六卷譯成漢文.這六卷的底本是利瑪竇的老師克拉維烏斯(clavius，德國人，1537—1612年)的拉丁文版本.事隔250年之后，清咸豐七年(1857)英國人偉烈亞力(Alexander Wylie)和國人李善蘭(1810—1882年)又把后九卷譯成漢文.這后九卷是根據(jù)一個英文版本譯出的，到現(xiàn)在還不知道這個英文版本的譯者，有待進(jìn)一步察考.直到清同治四年(1865年)于金陵在李善蘭的主持下，將前六卷和后九卷的譯文合刻成十五卷本.這就是《幾何原本》的“明清本”.<br><br>《幾何原本》在世界上流行著各種文字的譯本，甚至同一種文字有好幾個譯本.近年來有些國家不斷出現(xiàn)新的譯本和有關(guān)的研究論文.<br><br>歐幾里得本人的手稿早己失傳.當(dāng)時印刷術(shù)尚未發(fā)明，在很長一個時期內(nèi)《幾何原本》總是以各種文字的手抄本到處流傳.以下僅談幾種文字的第一個印刷本.最早的《幾何原本》的印刷本是1482年在意大利出版的，當(dāng)時意大利出版家愛爾哈爾得(Erhard Ratdolt)在威尼斯創(chuàng)立了一所印刷廠，他主動承印了坎帕努斯(Campanus)從阿拉伯文譯出的拉丁文本.由于它是印刷本，因此流傳較廣.1486年該書在烏爾姆(Ulm)重印，1491年又在巴塞爾(Basel)再版.第一個希臘文印刷本是格里內(nèi)烏斯(Simon Grynaeus)于1533年在巴塞爾的譯本.1570年在英國倫敦印刷了第一個英文譯本，這個譯本是倫敦的比林斯里(H.Billingsley)譯自希臘文.漢文第一個印刷本就是明萬歷年間徐、利的前六卷本.蒙文版前五卷己于1987年10月由內(nèi)蒙古人民出版社出版.它是莫德副教授翻譯的.<br><br>《幾何原本》流傳日久，由手抄到印刷，經(jīng)歷了不同人的改動，使得大部分版本內(nèi)容不盡相同，命題多少及其證明步驟亦存在差異，以致出現(xiàn)了不少存疑之處.究竟哪個版本更接近《幾何原本》的原貌，尚待進(jìn)一步考證.目前我國雖然有“明清本”，但由于它的底本來自兩種不同文字的版本，譯文又系文言文，多有不確切之處，加之一些術(shù)語和現(xiàn)代稱法不盡相同，這樣讀起來很不方便.這就有必要重新翻譯《幾何原本》.<br><br>我們選定了近年來世界上最流行的、專家們認(rèn)為較為確切的希思(H. L. Heath)的英譯本:The Thirteen Books of Euclid’s Elements(歐幾里得《原本》十三卷，1956年版)為底本.現(xiàn)對在翻譯的過程中，對許多名詞和關(guān)系的譯法我們略加說明.例如，第一卷中的“Common Notion”，可譯作“一般概念”，而這個英文術(shù)語無疑也是后人使用過的，近百年來多用“axiom”(公理).因此，我們把“ Common Notion”譯作“公理”.歐幾里得沒有線段和弦的稱法.一律叫做直線.有些地方出現(xiàn)“finite line”，但事先并未定義，可能是后人無意中加進(jìn)去的.為了不使讀者引起混淆，在不同地方，我們將按實際情況，把直線、線段、弦加以區(qū)別.“radius”一詞較晚地出現(xiàn)在證明步驟中，并未定義.在公設(shè)中，用的是“distance”(距離)，可見“radius ”一詞也可能是后人引進(jìn)的.因此，我們把“ distance ”仍然譯作距離.<br><br>在絕大部分命題的證明末尾，其左下角有“Therefore etc.”這是希思的用詞，可譯作“于是云云”或“于是等等”.據(jù)希思說，歐幾里得在證題末尾總要把原命題重復(fù)寫一遍，以示證完，他為了避免重復(fù)，用“There?fore etc.”代替了原命題.托德享特(Todhunter)的六卷本中用 Wherefore…”，其意義相同.而在“明清本”中，沒有用任何結(jié)尾詞.因此，我們認(rèn)為略去不譯這個結(jié)尾詞無損大局.<br><br>凡證明題的末尾右下角均有“ Q. E. D”，它是拉丁文“quod erad demonstradum”的縮寫，相當(dāng)于英文的“ Which Was to be demonstrated = Which Was to be proved”，意思是“證完”.凡作圖題末尾右下角的“Q.E. F”即拉丁文“qoud erat feciendum”的縮寫，相當(dāng)于英文的“ Which was to be done”，意思是“作完”.<br><br>從第一卷命題4起，凡屬證明題，幾乎每個題的證明步驟中都用了短語“I say that…”.俄譯本同樣用了這個短語.但是，“明清本”和托德享特的英譯本并未用此短語，很可能希思譯本與俄譯本采用了同一個底本，或者相近的底本.短語的意思是“我斷言……”或者“我說……”.我們?yōu)榱伺c證明過程中的用語協(xié)調(diào)，將它譯作“則可證……”.命題28中的“ exterier angle equal to interier and cpposite angle”被譯為“同位角相等”.命題34中的“parallelagrammic area”被譯為“平行四邊形面片”.<br><br>書中沒有“矩形”(rectangle)這個詞，而定義了“直角平行四邊形”(rectangular parallelagram)，這是同義詞.但是，在另一些命題的證明步驟中出現(xiàn)了“rectangle”，我們認(rèn)為也是后來人引進(jìn)的，一律譯為"矩形”.<br><br>一提到“平行公理”，人們總會想到第5公設(shè).但是，事情不全是這樣，“明清本”將平行公理放在公論(即公理中，而不是在公設(shè)中)的第11條;托德享特放在公理(即axiom中，而不是放在postulate中)的第12條.到底哪個排法更接近《幾何原本》的原貌，現(xiàn)在還說不清.我們至少應(yīng)該知道“平行公理”不一定是第5公設(shè)，這要看對哪個版本而言.<br><br>第III卷第17命題“由己知點作己知圓的切線”，其作法與以后中學(xué)教科書中的作法不同.中學(xué)教科書中的作法用了平行公理的等價命題，而第17命題的作法避開了平行公理.歐幾里得為什么不用他提出的平行概念呢？這種作圖法屬于“絕對幾何”.蘇聯(lián)非歐幾何作圖權(quán)威模爾杜哈伊——保爾朵夫斯基(他是1948—1950年俄文版《幾何原本》的譯者)和他的學(xué)生涅斯塔諾維奇教授，在研究羅巴切夫斯基平面上的幾何作圖時就用了這個作法.有些人卻認(rèn)為這個作法很巧妙，還誤認(rèn)為是涅氏給出的.<br><br>第V卷定義5是比例的定義，很繁，初看不易理解.但是，這個定義與現(xiàn)在的定義是等價的，可見當(dāng)時對比例論的研究相當(dāng)深刻.在這一章，似乎歐幾里得想把比例的理論由數(shù)轉(zhuǎn)化到線段以至面積、體積中來.因為，他沒有具體說明所研究的對象是什么，而在定義和命題中把所論對象一律稱做量(Magnitudes)，也許他所謂的“量”更為廣泛.<br><br>歐幾里得的比例論影響很深遠(yuǎn).他用線段的比例刻畫了相似三角形的本質(zhì)，而相似三角形的存在，表現(xiàn)了歐幾里得空間的特征.這是一個十分重要的性質(zhì).歐幾里得的比例論曾經(jīng)引起了希爾伯特的極大注意，在他的名著《幾何基礎(chǔ)》(有兩個漢譯本，1924年由傅種孫、韓桂叢合譯，商務(wù)印書館出版；1958年江澤涵又由俄文版譯出，科學(xué)出版社出版)中，專門用一章(第三章)的篇幅重新研宄了歐幾里得比例論.即不用阿基米德的連續(xù)公理(用了巴斯加定理)建立了線段的比例論.從而建立了線段的運(yùn)算.最后，把問題推到了高峰——線段的比例與相似三角形的關(guān)系.<br><br>在第 V 卷中，對于“ as A is to B，so is C to D”或者“ A is to B as C is to D”表示這四個量成比例，我們把它們都譯為"A比B如同C比D”.<br><br>第X卷論述了十三種無理線段，內(nèi)容既復(fù)雜，又難懂，但是，條理清楚.在譯這一卷時，對十三種無理線段的名稱沒有沿用“明清本”的稱法，我們作了一些改進(jìn)，盡量做到顧名思義.<br><br>為了幫助讀者容易閱讀，在某些定義和命題之后，用小字加了少量注解.<br><br>也許歐幾里得給《幾何原本》就沒有編寫目錄，可以看出，托得享特的六卷本的目錄也是他自己編寫的;“明清本”沒有目錄，但是，希思的英譯本卻有目錄.為了讀者容易查閱起見，我們仿照希思編寫的目錄，給此漢譯本也加了一個目錄.