<p>最近，新冠肺炎肆虐，全國(guó)人民同仇敵愾戰(zhàn)病魔，一個(gè)名詞不斷出現(xiàn)在各種場(chǎng)合，這個(gè)名詞就是拐點(diǎn)，人們盼望著疫情拐點(diǎn)的出現(xiàn)。但是，有多少人知道什么是拐點(diǎn)？結(jié)論是知道的人不多，就連各大媒體的記者，常在采訪提問(wèn)中說(shuō)到拐點(diǎn)，但若問(wèn)什么是拐點(diǎn)，他或她不一定能答上來(lái)。</p><p><br></p><p>拐點(diǎn)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的概念，使用這一概念的對(duì)象是平面曲線。按照數(shù)學(xué)中的定義，形象一點(diǎn)說(shuō)，如果一個(gè)人開(kāi)著車(chē)沿著一條曲線走，車(chē)輪就會(huì)一會(huì)兒左拐一會(huì)兒右拐，曲線上那些車(chē)輪左（右）拐變右（左）拐的分界點(diǎn)也就是轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是拐點(diǎn)。因此，一條曲線可能有許多拐點(diǎn)。拐點(diǎn)本來(lái)是曲線上的點(diǎn)，它有兩個(gè)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，但在不嚴(yán)格的場(chǎng)合，也把它的橫坐標(biāo)稱(chēng)為拐點(diǎn)。數(shù)學(xué)中和拐點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)的，還有極大極小值（簡(jiǎn)稱(chēng)極值）和最大最小值（簡(jiǎn)稱(chēng)最值）概念，前者是局部概念，后者是整體概念，后者好理解，指在一個(gè)區(qū)間上的函數(shù)的最大（?。┲?，前者定義稍麻煩，大致來(lái)說(shuō)，局部最值叫做極值。有時(shí)，把取到極（最）值的自變量稱(chēng)為極（最）值點(diǎn)，但在不嚴(yán)格的場(chǎng)合，也把曲線上達(dá)到極（最）值的點(diǎn)稱(chēng)為極（最）值點(diǎn)。這些比較靈活的說(shuō)法有利于在同時(shí)出現(xiàn)拐點(diǎn)和極值最值時(shí)敘述簡(jiǎn)潔，一般也不會(huì)出現(xiàn)混亂。</p><p><br></p><p>可見(jiàn)，拐點(diǎn)和極值最值點(diǎn)是完全不同的概念，一般，拐點(diǎn)不是極值點(diǎn)，也不是最值點(diǎn)。</p><p><br></p><p>現(xiàn)在，面對(duì)新冠肺炎疫情談拐點(diǎn)，對(duì)象是“累計(jì)確診人數(shù)曲線”，這是多數(shù)人的共識(shí)。但是，許多人對(duì)拐點(diǎn)的認(rèn)識(shí)出現(xiàn)了偏差，他們認(rèn)為動(dòng)點(diǎn)沿著曲線從左到右走時(shí)，動(dòng)點(diǎn)上升到下降的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也就是曲線的極大值點(diǎn)就是拐點(diǎn)，說(shuō)過(guò)了拐點(diǎn)累計(jì)確診人數(shù)就下降了。從數(shù)學(xué)角度說(shuō)，這種認(rèn)識(shí)犯了把極值點(diǎn)說(shuō)成是拐點(diǎn)的大忌。</p><p><br></p><p>類(lèi)似的對(duì)拐點(diǎn)的認(rèn)識(shí)很普遍，許多人在許多場(chǎng)合都這么想，認(rèn)為極值點(diǎn)就是拐點(diǎn)。想改？人們會(huì)和你吵，說(shuō)你學(xué)了兩天數(shù)學(xué)就到處賣(mài)弄，想改掉人們普遍的認(rèn)識(shí)，真無(wú)聊。</p><p><br></p><p>但就疫情談拐點(diǎn)，不改還真不行，因?yàn)椤袄塾?jì)確診人數(shù)曲線”偏偏是遞增曲線，永遠(yuǎn)不會(huì)下降。即使到了疫情結(jié)束沒(méi)有新增病人了，累計(jì)確診人數(shù)成了一個(gè)不變的常數(shù)，就像非典確診人數(shù)最后永遠(yuǎn)定格在8422一樣，這條曲線也只能從某個(gè)時(shí)間點(diǎn)起變成了平行于時(shí)間軸的直線，還是不會(huì)下降。因此，那個(gè)使它下降的轉(zhuǎn)折點(diǎn)永遠(yuǎn)不存在，認(rèn)為是拐點(diǎn)的這一點(diǎn)根本找不出來(lái)！</p><p><br></p><p>但人們認(rèn)為，拐點(diǎn)不但有，而且只有一個(gè)，這個(gè)點(diǎn)確定疫情的走向，盡管波折和短時(shí)的突變可能很多，但過(guò)了這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)后疫情趨勢(shì)就向好了。再明確一些說(shuō)，人們堅(jiān)信在“累計(jì)確診人數(shù)曲線”上有那么一點(diǎn)，過(guò)了這一點(diǎn)這個(gè)曲線就往好的方向走了。我們已經(jīng)知道，這條曲線是一直上升不會(huì)下降的，那么，如果人們的這個(gè)愿望是對(duì)的，心目中稱(chēng)作拐點(diǎn)的這一點(diǎn)存在，它指引好的方向，我們首先要搞清楚的是：所謂好的方向是什么意思？</p><p><br></p><p>我們把人們的愿望與嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論結(jié)合，將上述疑問(wèn)及其相關(guān)問(wèn)題做如下解釋?zhuān)?lt;/p><p><br></p><p>一條曲線彎彎曲曲地上升，盡管都是上升，但有時(shí)是向上彎，這時(shí)它上升的速度是加快的，這是因?yàn)楸葎澮幌戮椭?，這種在一個(gè)區(qū)間向上彎的曲線，若把區(qū)間分為長(zhǎng)度相同的幾個(gè)小區(qū)間，則在靠右的小區(qū)間上的增長(zhǎng)幅度比在靠左的小區(qū)間上大；有時(shí)向下彎，這時(shí)它上升的速度是減慢的。面對(duì)我們現(xiàn)在的對(duì)象，明顯地曲線向上彎的方向是壞的方向，向下彎的方向是好的方向。現(xiàn)在的拐點(diǎn)是什么呢？就是曲線彎向的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即速度增減的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。明顯地，按照我們的觀點(diǎn)，拐點(diǎn)有好壞，加速變減速的是好拐點(diǎn)，減速變加速的是壞拐點(diǎn)。拐點(diǎn)有許多個(gè)時(shí)，有的好有的壞。</p><p><br></p><p>既然增長(zhǎng)曲線的拐點(diǎn)可能有許多個(gè)，而人們心目中盼望的疫情拐點(diǎn)卻只有一個(gè)，那這個(gè)所謂的拐點(diǎn)是一個(gè)什么點(diǎn)呢？</p><p><br></p><p>由前面知道，人們期望，盡管有許多小的波折和短時(shí)突變，這“累計(jì)確診人數(shù)曲線”大體上早期是加速上升的，到達(dá)某一點(diǎn)以后，這曲線大體上減速上升了。這一點(diǎn)就是人們心目中的拐點(diǎn)。</p><p><br></p><p>可以看出，在人們心目中，如果不計(jì)小彎和突變，“累計(jì)確診人數(shù)曲線”開(kāi)始有一個(gè)向上的大彎，過(guò)了拐點(diǎn)以后就有一個(gè)向下的大彎，最后成了平行于時(shí)間軸的直線，疫情結(jié)束。</p><p><br></p><p>所以本質(zhì)上，人們心目中的拐點(diǎn)還是數(shù)學(xué)中的拐點(diǎn)。</p><p><br></p><p>怎么求這一點(diǎn)呢？</p><p><br></p><p>數(shù)學(xué)認(rèn)為，伴隨著增長(zhǎng)曲線，還有一條增長(zhǎng)速度曲線，后者是前者的導(dǎo)函數(shù)曲線，它的極值點(diǎn)就是前者的拐點(diǎn)?，F(xiàn)在，增長(zhǎng)曲線是“累計(jì)確診人數(shù)曲線”，增長(zhǎng)速度曲線是“每日新增確診人數(shù)曲線”。這是因?yàn)樗俣仁菃挝粫r(shí)間內(nèi)的增量，新冠肺炎數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的時(shí)間單位是天 ，每日新增確診人數(shù)就是增速。這“每日新增確診人數(shù)曲線”不同于“累計(jì)確診人數(shù)曲線”，它不是一直遞增的，而是彎彎曲曲上來(lái)下去，有極值點(diǎn)的，它的每個(gè)極值點(diǎn)就是“累計(jì)確診人數(shù)曲線”的拐點(diǎn)。</p><p><br></p><p>把人們或略“累計(jì)確診人數(shù)曲線”上小的波折和突變，認(rèn)為這曲線早期大體上加速上升，到達(dá)某一點(diǎn)后減速上升這件事用曲線表示，就得到了一條新的曲線，這曲線是原來(lái)曲線的光滑化，它也有一條相應(yīng)的增長(zhǎng)速度曲線，這個(gè)速度曲線是窯洞頂弧線形的，它有唯一的一個(gè)極大值點(diǎn)，這是一個(gè)時(shí)間值，這就是我們心目中的疫情拐點(diǎn)（按拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)也稱(chēng)作拐點(diǎn)看）。</p><p><br></p><p>無(wú)需多加討論，簡(jiǎn)潔合理的做法如下：或略“每日新增確診人數(shù)曲線”上那些坑坑洼洼，不管裂縫和脫落吊著的墻皮，得到一條光滑的弧線，找到最頂上那一點(diǎn)。這一點(diǎn)就是我們心目中的拐點(diǎn)，按照拐點(diǎn)也認(rèn)為是它的時(shí)間值的說(shuō)法，作為拐點(diǎn)的日期就得到了。</p><p><br></p><p>數(shù)學(xué)中較為正規(guī)的做法，需要對(duì)“每日新增確診人數(shù)曲線”進(jìn)行濾波光滑化處理。但我們現(xiàn)在用修窯洞的泥瓦匠的做法，比劃一下就把這點(diǎn)找到了。</p><p><br></p><p>注意我們實(shí)際上涉及到四條曲線，假定甲1是“累計(jì)確診人數(shù)曲線”，甲2是虛擬的甲1抹去坑坑洼尖角等得到的磨光曲線，乙1是“每日新增確診人數(shù)曲線”，乙2是乙1的對(duì)應(yīng)于甲2的磨光曲線。上面的討論顯示，求人們心目中甲1的拐點(diǎn)，數(shù)據(jù)利用的是乙1的，由乙1得到乙2，找到其極大值點(diǎn)，就是要求的拐點(diǎn)?？傊?，求甲1的拐點(diǎn)利用乙1是對(duì)的，求甲1的拐點(diǎn)利用甲1自身反而錯(cuò)了。注意那個(gè)虛擬的甲2只在解釋道理時(shí)出現(xiàn)，實(shí)際操作時(shí)并不出現(xiàn)。</p><p><br></p><p>顯然拐點(diǎn)是依賴(lài)于時(shí)間的，按理不到最后不能確定拐點(diǎn)，但到了一定時(shí)候，利用對(duì)拐點(diǎn)的討論估計(jì)抗疫趨勢(shì)還是可以的。考察到目前為止中國(guó)新冠肺炎的“每日新增確診人數(shù)曲線”，去掉異常成分，或略小的波折，立即得知我們心目中暫時(shí)的拐點(diǎn)是2月4日。</p><p><br></p><p><br></p>