數(shù)學(xué)難題解析

李白

叮鈴鈴鈴...... 清脆的上課鈴聲響起，孩子們一窩蜂涌向教室門口，他們推搡著，嬉笑著，跑著跳著回到了自己的座位上，端端正正等待著老師的到來。幾分鐘后李老師走進(jìn)教室，在講臺(tái)前站定。李老師就是李白老師，本文作者。 學(xué)生們：老師好！李老師：同學(xué)們好！ 現(xiàn)在開始上課！照慣例，正式上課前先講一個(gè)笑話。話說李老師我下班回家，走到小區(qū)門口，見兩個(gè)七八歲的孩子抬頭望著天空在指指點(diǎn)點(diǎn)。我走近跟前聽到，他們?cè)谵q論天上掛著的那兩個(gè)天體哪個(gè)是太陽(yáng)，哪個(gè)是月亮。真實(shí)上演了現(xiàn)代版的“兩小兒辯日”。其中一個(gè)孩子說：兩個(gè)都是太陽(yáng)，白天天上沒有月亮。另一個(gè)孩子說：那個(gè)亮的是月亮，因?yàn)樵铝劣袀€(gè)亮字，暗的是太陽(yáng)。兩個(gè)孩子爭(zhēng)論不休，誰也說服不了誰。他們看到李老師站在身邊，便向李老師請(qǐng)教。其實(shí)呢，李老師我也不清楚到底哪個(gè)是太陽(yáng)，哪個(gè)是月亮。李老師只好告訴他們：我不是本地人，我也不知道。 言歸正傳。今天咱們不講古詩(shī)，不講文學(xué)，不講建筑施工規(guī)范，也不講江小白的酒文化，更不去講打麻將，今天李老師給大家講一道數(shù)學(xué)題。 原題是這樣的：1000個(gè)學(xué)生站一排，按1.2.3.4.5.6.....998.999.1000編號(hào)，然后從1號(hào)開始按1.2.3，1.2.3，1.2.3....報(bào)數(shù)，報(bào)3的退出，其他學(xué)生靠攏，然后再按1.2.3，1.2.3....報(bào)數(shù)，報(bào)3的繼續(xù)退出，往復(fù)若干次，問你最后剩下的三個(gè)學(xué)生分別是原1000個(gè)學(xué)生里的哪三個(gè)。原題是1000個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在我們加大數(shù)字，加大一點(diǎn)難度，改為10000個(gè)學(xué)生。 同學(xué)們，解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵是思路和建模。建模就是將原題描述的生活語言翻譯成數(shù)學(xué)語言。本題中關(guān)鍵詞翻譯過來便是：第一次報(bào)數(shù)后編號(hào)能被3整除的出列，剩余學(xué)生繼續(xù)整隊(duì)報(bào)數(shù)，重復(fù)上一次的操作，如此循環(huán)多次以后，直到剩下最后3人為止，求最后3人的原始編號(hào)。因每次都要出列約1/3的人數(shù)，所以人數(shù)會(huì)越來越少，直至剩下最后3人。不難看出，最后剩下的3個(gè)數(shù)字中，有編號(hào)1、2這兩個(gè)數(shù)字（也就是隊(duì)列中的最前面兩個(gè)人），關(guān)鍵就是要求出第三個(gè)數(shù)字了。 我們知道，每一次的“報(bào)數(shù)—出列”循環(huán)之后，每個(gè)學(xué)生的編號(hào)都會(huì)發(fā)生變化。并且我們需要知道重新整隊(duì)后每個(gè)學(xué)生的新編號(hào)是多少，可以判定他在本輪循環(huán)中是否會(huì)出列（不需1.2.3報(bào)數(shù)，只需將能被3整除的數(shù)字出列即可），這是至關(guān)重要的。以數(shù)字10為例。第一次報(bào)數(shù)之后，10前面的3.6.9這三個(gè)數(shù)字出列，這時(shí)10前面留下來的數(shù)字有（包括10）: 1.2.4.5.7.8.10,相當(dāng)于原編號(hào)10變?yōu)樾戮幪?hào)7。再循環(huán)一次，7前面的3.6出列，此時(shí)7的新編號(hào)又變?yōu)?。5再循環(huán)一次，變?yōu)?。其實(shí)列隊(duì)中（10000個(gè)數(shù)字）的任一數(shù)字，經(jīng)過一個(gè)循環(huán)之后的新編號(hào)都可以按以下方法求得： A'=A-A/3（A'為新編號(hào)，A為舊編號(hào)，A/3只取整數(shù)部分，小數(shù)部分舍去）。 此時(shí)，據(jù)此我們可以求出10000個(gè)學(xué)生需要經(jīng)過多少次循環(huán)剩下3人： 原人數(shù)（原編號(hào)）10000第一個(gè)循環(huán)：10000-10000/3=6667第二個(gè)循環(huán)：6667-6667/3=4445第三個(gè)循環(huán)：4445-4445/3=2964...... 將其全部列出來為：10000，6667，4445，2964，1976，1318，879，586，391，261，174，116，78，52，35，24，16，11，8，6，4，3。由本數(shù)字組可以看出，經(jīng)過21個(gè)循環(huán)以后，剩下3個(gè)數(shù)字了。同時(shí)我們還能看出，由前到后，第一個(gè)能被3整除的編號(hào)是2964，這說明10000這個(gè)編號(hào)在第四個(gè)循環(huán)中出列，她沒能堅(jiān)持到最后。 我們現(xiàn)在要做的工作是找出其中一個(gè)數(shù)字在這21個(gè)循環(huán)中每次都不出列，堅(jiān)持到最后，這就是我們要求得的結(jié)果。 顯然，只要這個(gè)數(shù)字在每次循環(huán)中的新編號(hào)都不能被3整除，則這個(gè)數(shù)字便堅(jiān)持到最后了。 我們知道這個(gè)數(shù)字是唯一的，并且她的循環(huán)線路也是唯一的。最終剩下的3個(gè)數(shù)字：1，2，X，因目前我們不知道這個(gè)數(shù)字X是幾，所以從大數(shù)順推無法進(jìn)行。此時(shí)我們換個(gè)思路，從3個(gè)數(shù)字開始倒推，逆向解決。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)字是唯一的，并且她的循環(huán)線路也是唯一的，所以順推和倒推其結(jié)果是相同的。 當(dāng)只剩3個(gè)數(shù)字時(shí)，她的上一個(gè)循環(huán)中有幾個(gè)數(shù)字？或者說第三個(gè)數(shù)字在上一個(gè)循環(huán)中她的編號(hào)是多少？很明顯是4。假如有5個(gè)的話，去掉一個(gè)剩下4個(gè)了,不符合本小節(jié)題意；5個(gè)以上就更不合題意了。所以唯一的答案，就是4。此時(shí)我們知道整個(gè)大循環(huán)的最后兩輪循環(huán)后的數(shù)字為3，4。一步一步繼續(xù)演算： 4的上一個(gè)循環(huán)有幾個(gè)數(shù)字？或者說第4個(gè)數(shù)字在上一個(gè)循環(huán)中她的編號(hào)是多少？我們通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)有5和6兩種可能。此時(shí)我們只能選5，因?yàn)?為3的倍數(shù)，選6的話，此數(shù)字（編號(hào)）會(huì)提前出列（原因在前文已有闡述）。此時(shí)大循環(huán)的最后3輪循環(huán)后的數(shù)字為3，4，5。繼續(xù)演算，5的上一循環(huán)數(shù)為7，7的上一循環(huán)數(shù)為10......把整個(gè)循環(huán)我們?nèi)坑?jì)算出結(jié)果，得到如下數(shù)字組：3，4，5，7，10，14，20，29，43，64，95，142，212，317，475，712，1067，1600，2399，3598，5396，8093。剛好21個(gè)循環(huán)。 事實(shí)上，由任一數(shù)字計(jì)算她的上一循環(huán)數(shù)時(shí)遵循以下規(guī)則： A=1.5 A'-m（A為上一循環(huán)數(shù)編號(hào)，A'為本輪循環(huán)新編號(hào)。當(dāng)A'為奇數(shù)時(shí)，m=0.5，當(dāng)A'為偶數(shù)時(shí)，m=1）3，4，5，7，10，14，20，29，43，64，95，142，212，317，475，712，1067，1600，2399，3598，5396，8093這個(gè)數(shù)字組是一個(gè)近似等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為1.5，且數(shù)字越大，其比值越接近1.5。也可以這樣理解：實(shí)際公比q-1.5→0（差值趨于0），但不等于0，只是無限接近。 通過以上計(jì)算可知，數(shù)字組中某一數(shù)字前數(shù)為奇數(shù)時(shí)，給本數(shù)加0.5，前數(shù)為偶數(shù)時(shí)，本數(shù)加1，此時(shí)她的公比就是標(biāo)準(zhǔn)的1.5了。 同學(xué)們，此時(shí)你們是否已經(jīng)知道答案了呢？恭喜，你們的回答完全正確，答案是8093。也就是說此題的最終答案是1，2，8093。繼續(xù)觀察以上數(shù)字組，我們還能發(fā)現(xiàn)： 1. 原始數(shù)據(jù)中，任一數(shù)字通過計(jì)算可知她在第幾循環(huán)中出列，同學(xué)們可以自己計(jì)算。2. 5396~8092這個(gè)跨度為2696個(gè)數(shù)字中，都是經(jīng)過20個(gè)循環(huán)完事，你們知道為什么嗎？不同的數(shù)字，她們?cè)诘趲籽h(huán)數(shù)字重合？可以自己動(dòng)腦筋想一想。 同學(xué)們，本節(jié)課就講到這里，謝謝你們的認(rèn)真聽講！現(xiàn)在下課。 同學(xué)們：老師再見！李老師：同學(xué)們?cè)僖姡?lt;/p> 李白于2020年6月13日