同讀一本書工作更精彩--《基本概念與運算法則》讀書分享

數(shù)你最美

寫在卷首請您聆聽 尊敬的各位導師，親愛的同學們： 大家好，我是來自河南省商丘市梁園區(qū)教師進修學校的姜琳，是全國新世紀小學數(shù)學杰出人才發(fā)展工程第六屆高級研修班第一小組的成員。今天是高考的第二天，很榮幸在這樣一個特殊的日子里，和大家進行第一次讀書分享。 “讀一本好書，就是同許多高尚的人說話?！睗櫸餆o聲，為思想注入活水，今天就讓我們一起走進《基本概念與運算法則》這本好書。 作者簡介 　　史寧中教授：東北師范大學前校長，教授，博士生導師。國務院學科評議組成員，第五屆國家級教學名師，數(shù)學新課標修訂組組長，中國教育學會副會長，教育部第五屆科技委數(shù)理學部委員。 作為教育管理者，他在對師范教育的理性分析領域也取得了顯著的成果。先后有《堅持為基礎教育服務》、《創(chuàng)新:一所一流師范大學的靈魂》、《教師職業(yè)專業(yè)化:新世紀教師教育的重要使命》、《走向尊重的教育》等十余篇論文在《光明日報》、《中國教育報》等報刊上發(fā)表。其中他在《教育研究》上發(fā)表的《關于教育的哲學》一文，被美國柯爾比科學文化中心評為優(yōu)秀科學論文，被30多家雜志和出版社轉載。 內容簡介 　　本書主要講述小學數(shù)學教學內容中的一些核心問題，在理解內容的基礎上，探討實現(xiàn)“四基”課程目標、適合小學生認知規(guī)律的表達方式和教學方法。為了講述的更加直接，這本書嘗試以回答問題的方式進行講述，其中，大部分問題來自數(shù)學教育工作者和教學一線的數(shù)學教師。“問題篇”包括30個問題，希望小學數(shù)學教師通過對這30個問題的理解就能夠把握小學數(shù)學的核心，增強數(shù)學教學的信心。作為數(shù)學知識的拓展以及數(shù)學知識產(chǎn)生的歷史背景，“話題篇”設定了30個話題，拓展對教學核心問題的理解。案例篇呈現(xiàn)了20個教學設計，供教師在設計自己的教學活動時參考。  小學數(shù)學所涉及的內容都是最基礎的、最本質的，講述清楚往往是比較困難的。因此，本書的內容不僅適用于小學數(shù)學教師，對于中學數(shù)學教師、學生家長甚至對大學生和大學教師都有參考價值。 寫作初心 　　親愛的老師們，有了上面的介紹，您是不是心動了呢？那么，這樣一本令人行動的教育書籍，作者的寫作初心又是什么呢？打開書本映入眼簾的是前言那一段排比式的疑問句：課程標準應當規(guī)定哪些教學內容，為什么要規(guī)定這些內容，這些內容的教育價值是什么？數(shù)學的本質是什么，應當如何在教學中體現(xiàn)這些本質？在義務教育階段應當實施一種什么樣的數(shù)學教育？培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的關鍵是什么？應當通過什么樣的教學活動進行培養(yǎng)？這不僅僅是筆者的思考，更是作為一線教師畢生所要探尋的答案。 思考的結果促使筆者對“雙基”的變革。我國長期以來形成了基于“雙基”的數(shù)學教學，這種教學不僅影響到小學，而且還影響到整個基礎教育。這種教學的目標是：基礎知識的扎實，基本技能的熟練。適于這種教學目標的主要教學形式是：教師講授概念和法則，學生通過大量反復的練習，達到記憶扎實、熟能生巧；對應于這種教學目標的考試是：概念的記憶與理解，計算的準確與速度。顯然，對于這樣的考試而言，上面所說的教學形式是合適的，效果也是明顯的。但是，這樣的教學形式不利于培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，不利于讓學生感悟數(shù)學的思想，不利于幫助學生積累思維和實踐的經(jīng)驗，更不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維。 所以由“雙基”變“四基”是變革的必然，增加了基本思想和基本活動經(jīng)驗，基本思想和基本活動經(jīng)驗是一種隱形的東西，恰恰是這種隱性的東西體現(xiàn)了數(shù)學素養(yǎng)。 　史寧中教授確信：數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)、特別是創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，是“悟”出來的而不是“教”出來的，因為數(shù)學的結果是“看”出來的而不是“證”出來的?？梢韵胂?，會“悟”會“看”的底蘊是把握數(shù)學思想，會“悟”會“看”的教育是一種經(jīng)驗的積累（包括思維的經(jīng)驗和實踐的經(jīng)驗），需要受教育者本人的思考與實踐，因此，受教育者本人參與其中的教育教學活動是至關重要的，是“教”與“學”的統(tǒng)一體。 史寧中教授給出了一個判定數(shù)學基本思想的準則，這個準則包含兩條：一是數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴的那些思想；二是學習過數(shù)學與沒有學習過數(shù)學的人的思維差異。這樣，就把數(shù)學思想歸納為三方面的內容，可以用六個字表達：抽象、推理、模型。 “四基”提出的同時也對中小學數(shù)學教師提出了更高的要求。要求教師：1.能夠把握教學內容的數(shù)學實質，并且能設計出符合學生認知規(guī)律的教學過程讓學生感悟這些實質。2.引發(fā)學生思考問題，并且?guī)椭鷮W生養(yǎng)成良好的獨立思考的習慣。3.引導學生能夠正確地思維與實踐，并且?guī)椭鷮W生積累思維和實踐的經(jīng)驗。 眾所周知，在同樣條件下，一個人的事業(yè)成功與否，并不僅僅取決于這個人掌握多少知識，更取決于這個人的思維方法。因此，為了實現(xiàn)新的課程目標就必須改變傳統(tǒng)的教育理念和教學方法。 了解了作者的寫作初心，我正式的開啟了我的閱讀之旅。本周主要閱讀的是第一板塊“數(shù)的認識”。 　　了解了作者的寫作初心，我正式的開啟了我的閱讀之旅。本周主要閱讀的是第一板塊“數(shù)的認識”。 摘錄筆記請您聆聽 　　數(shù)是對數(shù)量的抽象，因此在認識數(shù)之前，首先要認識數(shù)量。但無論是認識數(shù)量還是認識數(shù)都不是數(shù)學的本質。數(shù)學的本質是：在認識數(shù)量的同時認識數(shù)量之間的關系，在認識數(shù)的同時認識數(shù)之間的關系。數(shù)量之間最基本的關系是多與少，與此對應，數(shù)之間最基本的關系是大與小。那么數(shù)量是什么，數(shù)量關系的本質是什么呢？我們一起走進問題1 問題1 　　問題1：數(shù)量是什么？數(shù)量關系是什么？ 數(shù)量是對現(xiàn)實生活中事物量的抽象。其實從遠古時代開始，在日產(chǎn)生活和實踐中，人們就需要創(chuàng)造出一些語言來表達事物量的多少，像一粒米、兩條魚、三只雞等這種有實際背景的、關于量的多少的表達稱為數(shù)量。而此時的數(shù)字還不具有數(shù)字符號的功能，只能把這些數(shù)字理解為與數(shù)量有關的事物的記載。而數(shù)學研究的對象應當比數(shù)量更為一般的抽象，為了實現(xiàn)更為一般的抽象，就必須把握數(shù)量的本質，這個本質則表現(xiàn)在數(shù)量關系之中。數(shù)量關系的本質則是多與少。 比較數(shù)量多少的方法稱為對應，上古結繩而治，后世圣人易之以書契。古代歐洲人則利用小石頭記錄數(shù)量的多少。老師們，閱讀到這里，比數(shù)量更為一般的抽象，或者說，能夠成為數(shù)學研究對象的抽象是不是已經(jīng)呼之欲出了呢，但是，又該如何描述這個抽象呢，讓我們一起走進問題2 問題2 　　問題2：如何認識自然數(shù)？ 數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)的關系是對數(shù)量關系的抽象。為了更好地研究現(xiàn)實世界中量的關系，就必須對數(shù)量進行更為一般的抽象，抽象的結果就是自然數(shù)。可以有兩種方法實現(xiàn)這種抽象：一是基于對應的方法。首先利用圖形對應表示事物數(shù)量的多少，然后再對圖形進行命名，最后把命名了的東西符號化。比如：用兩個正方形表示兩個小朋友，然后抽象出數(shù)字2.一般來說，需要從兩個角度來把握這種抽象：在形式上，自然數(shù)去掉了數(shù)量后面的后綴名詞；在實質上，自然數(shù)去掉了數(shù)量所依賴的實際背景。另一種是基于定義的方法。數(shù)的定義緊密地依賴于數(shù)的關系，即大小關系。通過大小關系定義自然數(shù)的方法利用了“后繼”的概念。自然數(shù)的抽象過程深刻地表明，數(shù)學不是研究某一個具體背景的東西，數(shù)學研究的是一般的規(guī)律性東西。反過來，人們又可以把一般性的結果應用于某一個具體的事物，這就體現(xiàn)了數(shù)學的價值。比如人們通過抽象了的自然數(shù)和自然數(shù)之間的關系，得到了自然數(shù)的運算方法，反過來，又把自然數(shù)的運算方法應用于具體的數(shù)量運算。 當然，上面兩種認識自然數(shù)的方法均表明，在現(xiàn)實世界中，抽象了的數(shù)是不存在的，存在的只是數(shù)所對應的數(shù)量。比如，在現(xiàn)實世界中，自然數(shù)3是不存在的，存在的只是具體的3匹馬3頭牛等。 為了對數(shù)進行研究，僅僅認識自然數(shù)是不夠的，還需要用抽象的符號來表示自然數(shù)，自然數(shù)有無窮多個，我們不可能創(chuàng)造出無窮多個符號來表示自然數(shù)。那么，表示自然數(shù)的關鍵是什么呢？接下來，讓我們走進問題3 問題3 　　問題3：表示自然數(shù)的關鍵是什么？ 表示自然數(shù)的關鍵是十個符號和數(shù)位。自然數(shù)有無窮多個，為什么用十個符號就能夠表示所有的自然數(shù)呢？關鍵在于數(shù)位，比如：在個位上的2與在十位上的2所表示的自然數(shù)是不同的。當然，在這樣的表示中，0起到關鍵作用。讀自然數(shù)的法則是：符號+數(shù)位。 人類發(fā)明十進位的自然數(shù)計數(shù)系統(tǒng)實在是一件非常了不起的事情，這個發(fā)明經(jīng)歷了相當漫長的過程，對人類的貢獻極大，馬克思終生喜愛研究數(shù)學，他稱贊十進制記數(shù)法是最妙的發(fā)明之一。 因此在小學階段的數(shù)學教學中，不可能讓學生完全理解數(shù)的抽象過程，但是，應當努力創(chuàng)設出一些情境讓學生清晰地感悟到這個抽象過程。比如問題2中所說的利用對應的方法。 問題4 　　問題4：如何認識自然數(shù)的性質？雖然自然數(shù)是數(shù)學中最簡單、最基礎的研究對象，但要研究清楚自然數(shù)的性質卻不是一件容易的事，一些著名的命題和猜想都與自然數(shù)的性質有關。 我國頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中強調了分類，因為“分類討論問題”有助于人們認識事物的本質，這也是我們中國人認識問題的傳統(tǒng)思維模式，這種思維模式一直影響到當代中國。 人們常見的、也是小學數(shù)學教學內容包括的對自然數(shù)的分類主要有兩種：一種是奇數(shù)與偶數(shù)的分類，一種是素數(shù)與合數(shù)的分類。 請您聆聽問題5 　　問題5：如何認識負數(shù)？ 在小學階段、甚至在整個義務教育階段,數(shù)學教學中所涉及到的數(shù) 都有明確的現(xiàn)實背景(所涉及到的法則也都有著明確的現(xiàn)實背景),負數(shù)也不例外。因此，雖然可以通過減法來定義負數(shù)，但負數(shù)的本質還是對數(shù)量的抽象，所代表的意義與正數(shù)完全相反。 人們約定：在自然數(shù)的前面加上符號“－”表示負數(shù)，并稱這個符號為：“負號”。負數(shù)與對應的自然數(shù)在數(shù)量上相等，表示的意義相反。人們在自然數(shù)的前面加上符號“+”或者“—”是為了表示這個數(shù)量的性質，分別稱為“正數(shù)”或者“負數(shù)”。為了強調正數(shù)與負數(shù)在數(shù)量上相等，也為了更好地表達運算規(guī)則，人們還發(fā)明了絕對值符號。其實，負數(shù)也是因為日常生活和生產(chǎn)實踐的需要創(chuàng)造出來的，并且，與正數(shù)的教學方法一樣，也可以用對應的方法進行負數(shù)的教學。 現(xiàn)有資料表明，最早提到負數(shù)并給出正負數(shù)加減運算法則的是中國漢朝的數(shù)學著作《九章算術》。在這本書的第八章“方程”中，利用實際的例子引入了負數(shù)的概念，討論了正數(shù)與負數(shù)的加減運算：正負術，這里的術是算術的術。并且用不同顏色的算籌解釋了運算法則。大約在公元628年，印度數(shù)學家給出了負數(shù)的四則運算。因此，負數(shù)與減法運算關系密切，而減法運算又依賴于加法運算。 問題6 　　問題6：如何認識分數(shù)？ 雖然可以把分數(shù)看成除法運算的一種表示，但分數(shù)本身是數(shù)而不是運算。 古希臘學者對分數(shù)進行了深入的研究，把能寫成分數(shù)形式的數(shù)稱之為有理數(shù)，把不能寫成分數(shù)形式的數(shù)稱之為無理數(shù)， 分數(shù)的本質在于真分數(shù)，即分數(shù)的分子小于分母。分數(shù)有兩個現(xiàn)實背景：一個是表達整體與等分的關系，一個是表達兩個數(shù)量之間的整數(shù)的比例關系。后者又稱之為整比例關系。 整體與等分關系。問題的關鍵是對整體的等分：把整體看作1,比如：把一個月餅等分為5份，其中的1份就是這個月餅的1/5，其中的2份就是這個月餅的2/5.應當注意的是：通過等分得到分數(shù)單位。比如剛才所說的1/5就是分數(shù)單位，而2/5則表示的是兩個分數(shù)單位。 整比例關系。分數(shù)還可以表示兩個事物量之間的整數(shù)比，或者說以一個事物的量為基準對另一個事物的量進行整數(shù)倍的度量。比如有這樣一道題： 小紅家有鵝4只，是鴨子數(shù)量的1/3，問有幾只鴨子？其中的1/3說的就是比例：1只鵝對應3只鴨子，2只鵝對應6只鴨子，以此類推，4只鵝對應于12只鴨子。 解決這個問題的關鍵是解釋1/3的含義。顯然，這里的1/3是一個比例關系，而不是整體與等分關系。我們也從中看出，解釋1/3的過程是一個破題的過程，也就是說，解釋這道題的含義的過程。事實上，有許多問題只要破題清楚，就可以自然而然地得到解題的思路。因此，在小學數(shù)學的教學過程中，許多應用問題必須重視破題這個環(huán)節(jié)。 從這個內容的閱讀中，我們還可以知道，分數(shù)是一種無量綱（或稱量綱一）的數(shù)。也就是說，無論是一塊小月餅還是一個大蛋糕，如果分5份的話，那么每一份都是1/5，與整體本身的大小無關。無論是4只鵝還是400只鵝，與鴨子的數(shù)量比都是1:3，這個比例與數(shù)量的多少無關。也正因為如此，現(xiàn)實生活中一些看來無法比較的事情用分數(shù)就可以比較了，這就是通常所用的百分數(shù)。 問題7 　　問題7：如何認識小數(shù)？ 人們對小數(shù)的認識要比分數(shù)的認識晚的多，直到18世紀人們才建立起穩(wěn)定的十進位小數(shù)表達形式，這比微積分的出現(xiàn)還要晚100多年。建立小數(shù)的概念，一方面是為了現(xiàn)實世界中數(shù)量表達的需要；另一方面是為了數(shù)學本身的需要，主要是為了表示無理數(shù)。如果沒有小數(shù)來表示無理數(shù)，人們就很難進行無理數(shù)的加法運算。 為了理解小數(shù)，需要重新理解整數(shù)，其核心在于重新理解十進制。無論是整數(shù)還是小數(shù)，都可以用10的整數(shù)次冪的組合表示。人們通常把這樣的表示稱為線性組合，其中10的整數(shù)次冪稱為基底。因此，一個十進制的數(shù)就是一個以10的整數(shù)次冪為基底的線性組合，而一個小數(shù)就可以用10的負整數(shù)次冪表示。這樣，就可以清晰地解釋乘法運算0.1×0.1=10-1×10-1=1/10×1/10=1/100=0.01?？梢钥吹剑@種運算的實質是對分數(shù)單位的進一步等分。得到新的分數(shù)單位，只要注意到每次進行的都是十等分。所以，分數(shù)單位的進步一等分應當安排在小數(shù)乘法運算之前。在介紹分數(shù)的時候就介紹分數(shù)單位，并且介紹分數(shù)單位的進一步等分。否則就很難說明為什么0.1×0.1=0.01。 后來，人們?yōu)榱烁玫亟忉寣崝?shù)理論，特別是解釋實數(shù)的連續(xù)性，就重新用小數(shù)定義有理數(shù)和無理數(shù)：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)；無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)；有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。 問題8 　　問題8：什么是數(shù)感？ 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》給出了義務教育階段數(shù)學內容所涉及的最重要的十個核心概念。其中第一個核心概念就是數(shù)感，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中對數(shù)感的解釋是： 主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。 我們可以看到，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》強調數(shù)與現(xiàn)實的關系，對數(shù)感強調的是一種感悟。這種感悟是重要的：在小學數(shù)學教學活動中，不僅要讓學生感悟“數(shù)是對數(shù)量的抽象”，還應當反過來，讓學生感悟“抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的”。抽象的核心是舍去現(xiàn)實背景，聯(lián)系的核心是回歸現(xiàn)實背景。我們可以這樣理解“回歸現(xiàn)實背景”，比如：同樣是100這個抽象了的數(shù)，但是100粒黃豆與100匹馬給人的感覺是大不一樣的；再比如，去市場買菜，帶100元錢是足夠多了，但要購買房子，只有100元錢是遠遠不夠的。因此，對于現(xiàn)實生活的許多情況，人們需要感悟數(shù)與現(xiàn)實背景之間的聯(lián)系，從而感悟并且判斷在日常生活和科學研究中數(shù)所提供的信息。 培養(yǎng)學生的“數(shù)感”不僅是學習數(shù)學的需要，而且有助于培養(yǎng)學生認識和解釋現(xiàn)實事物的能力，這是一種數(shù)學素養(yǎng)的教育。 寫在卷尾 　　就這樣，邊讀書邊摘錄邊思考，雖然只是閱讀了本書胡第一部分--數(shù)的認識，卻帶給我太多的啟發(fā)和思考。其實，在沒有讀此書前，對數(shù)與數(shù)量關系，對于他們的先后順序、數(shù)學的本質等一些概念是比較模糊的，此刻卻已是清晰而又深刻，對數(shù)的認識及數(shù)學教學有了更深入的理解和認識。也許我不可能讓學生完全理解數(shù)的抽象過程，但是，我會努力創(chuàng)設出一些情境讓學生清晰地感悟到這個抽象過程?！?也許我還不能完全理解書中的內容，但是，我會堅持讀書學習。同讀一本書，工作更精彩，和大家一起讀書的日子是快樂的，享受在字里行間，分享讀書的心得和體會，豐富我們的育人智慧，并用這樣一份執(zhí)著和堅持，去尋找小學數(shù)學教學的詩與遠方。 以上是我通過閱讀《基本概念與運算法則》這本書的前言及第一部分數(shù)的認識，所留下的感受和思考，不當之處，敬請導師和同學們批評指正。 謝謝大家，我的分享到此結束。 話題探討 　　1.書中有這樣有一個詞：無量綱。我不是太理解，也查了資料:量一般分為兩種，可數(shù)的量和可測的量。對于可數(shù)的量（個、件數(shù)）一般為整數(shù)，無計量單位，稱為無量綱。而對于可測的量（時間、長度、質量），這些都是有計量單位的，稱為有量綱。百度也搜索了一下，（如下圖）。對這個詞，您了解嗎，您是怎么理解的？ 　　2.書中有這樣一句話：十進位的數(shù)位法則是依次相差十倍。對這句話你是怎么理解的？ 　　歡迎大家在美篇下方留言，留下您對兩個問題的思考，也期待您的鼓勵及寶貴意見噢～