研修永遠(yuǎn)在路上——成長在金謨主題研修活動(第171期)

慢慢的

銅川市金謨小學(xué) 史乃琴 　保持一米安全距離，進(jìn)校排隊量體溫，戴口罩上課……“后疫情時代”，全體師生繁忙而有秩序，緊張而不失快樂。各項工作進(jìn)行得風(fēng)生水起、扎實高效。 　　四年的朝夕相處，六（3）班的孩子們畢業(yè)了，從金謨小學(xué)起飛啦！做為母親的本能反應(yīng)，孩子們有些依戀……安靜地上完最后一節(jié)課，沒有說一句道別的話，沒有一絲要分別的意思！　　 　最讓我滿意又是最割舍不下的是:“老師，我今天想和大家一起探討一道題”，孩子上課前和我商量，“可以，但不能超范圍”，從此在黑板上留了一個小小的“講題角”，供孩子們進(jìn)行自主習(xí)題交流講解。于是只要上課完成了教學(xué)任務(wù)，大家的目光就聚焦到黑板角上那一道題，有時一個人講解，有時得需幾個人，有時爭議不下，有時出現(xiàn)無頭緒狀態(tài)等等，萬不得已我才救場并給予完善補充。有時課堂容量滿荷沒時間，那道題就那樣掛著直到解決為止。 　　這是伶牙俐齒李一平，一直活躍在數(shù)學(xué)課堂上！ 　　這是思維靈敏的董子軒和曹佩琦，是我的得力助手，這樣的孩子還有很多。 　　長期的訓(xùn)練，使孩子們知識掌握的全面牢固，綜合能力越來越強，邏輯思維越來越縝密，并能熟練運用數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語進(jìn)行演繹推理，最欣慰的是孩子們“問題沒弄明白不放手”這種理科生的潛質(zhì)已深入骨髓！ 　　記得有家長在電話中興奮地告密，孩子在家里正從資料上找題，要難倒數(shù)學(xué)老師和同學(xué)。我也暗自竊喜，可愛的小不點，豈不知老師研修的步伐從未停止！ 　　昨天孩子從考場出來詢問考卷上一道判斷題:"10個蘋果放在3個盤子里，總有1個盤子里至少放4個蘋果″，我脫口而出說正確，看著他張大口的樣子，有什么可吃驚的？這就是我上次研修分享的"抽屜原理"中，這題是最基本的問題。 　本學(xué)期雖然接近尾聲，但數(shù)學(xué)二組的研修活動如期進(jìn)行，嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真！7月1日由我就“合情推理的或然性和局限性”進(jìn)行研討。 　　一、合情推理的認(rèn)識 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》指出：“合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果?！焙锨橥评碛纸小盎蛉煌评怼薄八普嫱评怼保櫭剂x，他們常常看似合情合理，結(jié)論好像應(yīng)該是對的，實際上卻可能或?qū)蝈e。 　　研究調(diào)查表明：66.7%的教師認(rèn)為“歸納推理得出的結(jié)論一般是正確的”，22.2%的認(rèn)為“歸納推理得出的結(jié)論一定是正確的”，而認(rèn)為“歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的”僅有11.1%。 　這樣的例子最好不是故意設(shè)置的，而是在學(xué)習(xí)過程中自然產(chǎn)生的。比如：不等式的基本性質(zhì)，給不等式兩邊同加或同減一個數(shù)，同乘或同除以一個大于0的數(shù)，不等號不改變方向，孩子類比推理，但在兩邊同乘或同除以一個小于0的數(shù)，結(jié)論就出現(xiàn)了變化。還比如，在二維平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，但到了三維空間中，這個結(jié)論就不成立了。在小學(xué)，要讓孩子感知合情推理可能導(dǎo)致錯誤，機會確實比中學(xué)少。 　　三、感悟合情推理的或然性 僅僅讓孩子發(fā)現(xiàn)或看到合情推理可能出錯是不夠的，還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)他們認(rèn)識錯誤，走出錯誤，從而使孩子在感悟合情推理具有或然性的同時，獲得跳出陷阱，找到正確結(jié)論的經(jīng)歷與體驗。 　 1、類比推理的實例 例1：由2、5的倍數(shù)的特征類比3的倍數(shù)的特征。 教材安排：2、5、3的倍數(shù)的特征一概利用百數(shù)表讓孩子探究，由2的倍數(shù)特征類推5的倍數(shù)特征，類比正確；由2、5的倍數(shù)特征類推3的倍數(shù)特征，類比無效，因為3的倍數(shù)是3、6、9、12、15、18、21、24、27、30……，個位上從0到9都有可能，也就是說，判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，不能只看個位。 這里，有意識地引導(dǎo)孩子類比，主要目的是造成認(rèn)知沖突，促使孩子自己排除只看個位的思維定勢，進(jìn)而變換觀察角度，去發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，不能靠老師，時刻動腦進(jìn)行合理推理。 　例2：由乘法、減法運算性質(zhì)類比除法運算性質(zhì) ①由a×b+a×c=a×(b+c)推導(dǎo)得： a÷b+a÷c=a÷(b+c)(b≠0,c≠0) ②由a-b-c=a-(b+c)推導(dǎo)得： a÷b÷c=a÷(b×c)(b≠0,c≠0) 兩題都是類比，但第①錯第②對，顯然，集中呈現(xiàn)有助于孩子初步感知類比推理的或然性。 　 2、不完全歸納推理的實例 例4：“找規(guī)律”——從不完全歸納到整體分析 你能用1個棋子、2個、3個 ……分別能擺出哪些不同的數(shù)？（只有十位和個位位置）。孩子依次得到1個棋子可以擺出：1、 10；2個棋子擺出：2、11、20；3個棋子可以擺出4個數(shù)，4個棋子可以擺出5個數(shù)，就有孩子認(rèn)為規(guī)律已經(jīng)顯現(xiàn)，不用具體再擺了，提問用9個棋子可以擺出幾個數(shù)？多數(shù)孩子會毫不猶豫地類推：9+1=10個，至此，歸納推理的結(jié)果都是對的，如果再進(jìn)一步追問：用10個棋子一共能擺幾個數(shù)？幾乎所有孩子都會掉入歸納陷阱。 當(dāng)教師要求用10個棋子擺擺看，有人發(fā)現(xiàn)不對了：10個棋子都用上，是不能擺一位數(shù)的，也無法擺出個位是0的兩位數(shù)。因為數(shù)字最大是9，共擺出9個數(shù)。教師繼續(xù)引導(dǎo)孩子繼續(xù)操作、思考，完成10至18個棋子這幾組的擺法。理解能力強的孩子能夠明白，為什么這個活動最多到18個棋子。因為個位、十位最多各能擺9個棋子。 　　3、同時存在類比、歸納可能的實例 例6：長方形周長與面積的關(guān)系 三年級教學(xué)長方形面積之后，探究面積（周長）相等的長方形，它們的周長（面積）有什么變化規(guī)律？ 一般孩子都能發(fā)現(xiàn)：面積相等的長方形，長、寬越接近，周長越短，當(dāng)長、寬相等時，周長最短；反之，周長相等的長方形，長、寬越接近，面積越大，當(dāng)長、寬相等時，面積最大。 教材一般只出現(xiàn)一題，有了兩個結(jié)論之一，孩子都能推出另一個結(jié)論，這一由此及彼的推理就是類比推理，在這里都是正確的。進(jìn)而給出如下問題：用24米的籬笆圍成長方形菜地，一面靠墻，長、寬取整數(shù)米，怎樣圍面積最大？ 面對變化了的問題情境，孩子表現(xiàn)各異，比較典型的應(yīng)答是以下三種：一是不顧問題情境的變化，直接根據(jù)已知結(jié)論“周長相等的長方形，當(dāng)長、寬相等時，面積最大”做出類推，最大面積是64平方米；二是利用表格，依次列舉，發(fā)現(xiàn)長、寬越接近，面積越大，于是歸納推出最大面積是64平方米，三是利用表格，一一枚舉，老老實實填完表格，得到了正確答案，即最大面積是72平方米。 　四、啟發(fā)孩子確認(rèn)合理推理的結(jié)論 上面給出的六個實例，都能引導(dǎo)孩子擺脫困境，找出正確結(jié)論。問題是：憑什么確認(rèn)結(jié)論是正確的？ 如果繼續(xù)采用舉例驗證的方法，那么還是合情合理，但仍然具有或然性。審視上面六個實例，例3擲骰子，例4擺棋子，例6長方形周長與面積關(guān)系，結(jié)論已經(jīng)確認(rèn)，所采用的的方法，不論是否列表，都是根據(jù)題設(shè)條件做出無遺漏的枚舉分析，本質(zhì)上已經(jīng)相當(dāng)于數(shù)學(xué)證明了。 其他三例，無遺漏的枚舉行不通，怎么辦？最簡單的方式是：告訴孩子們，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了這一結(jié)論；或者說，以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，知識累積到一定程度，你們自己就能證明，這種以不變應(yīng)萬變的策略，其實是實事求是的科學(xué)態(tài)度。 無論選用何種方法，都應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)實際出發(fā)，抓住契機，根據(jù)孩子的認(rèn)知水平，盡可能地啟發(fā)它們在知其然的基礎(chǔ)上，知其所以然。 　研修分享，讓我對知識構(gòu)建更加從容，對教學(xué)駕馭更加熟練。感謝學(xué)校提供"成長在金謨"主題研修活動這個平臺，讓我們在教中學(xué)，在學(xué)中教！ 　　我們在研修的路上，腳踏實地的將越走越遠(yuǎn)……