話說數(shù)學(xué)常數(shù)π和e

官渡之戰(zhàn)

撰文/官渡之戰(zhàn)<div>圖片/來自網(wǎng)絡(luò)</div> <p class="ql-block">數(shù)學(xué)常數(shù)是代表某一數(shù)值且具有一定含義的術(shù)語。數(shù)學(xué)常數(shù)很多，其中，圓周率π與自然底數(shù)e涉及較多人文知識。如果撇開人文知識談?wù)摂?shù)學(xué)常數(shù)，對非數(shù)學(xué)人士來說，除了覺得枯燥抽象外，肯定不會有什么興趣。基于此，本文僅說說π和e的有關(guān)趣事。</p> <h3 style="text-align: center">一、圓周率π</h3> π是重要的數(shù)學(xué)常數(shù)，用以表示圓周率。所謂圓周率指的是圓的周長與直徑之比，比值為3.1415926……，無限不循環(huán)，系無理數(shù)。該比值之所以用π表示，原因在于圓周率最先是希臘人發(fā)現(xiàn)的，而希臘語中“圓周率”的首字母是π，于是用π表示之，并沿襲了下來。你知道嗎？π不僅代表圓周率，還有個節(jié)日以它命名，每年的3月14日就是π節(jié)。 2009年，在麻省理工學(xué)院的倡議下，美國眾議院正式通過一項決議，將每年的3月14號設(shè)定為“Pi Day”，即π節(jié)。 2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布每年的3月14日為“國際數(shù)學(xué)節(jié)”。說到3月14日，還有個巧合。世界最偉大的物理學(xué)家、相對論發(fā)現(xiàn)者愛因斯坦就誕生于3月14日（其年為1879年），于是，π節(jié)同時成為愛因斯坦誕辰紀(jì)念日。在漢語中，“14”的諧音是“要死”，可這個“不夠吉祥”的日子卻誕生了最偉大的物理學(xué)家，這真是冥冥之中的驚人巧合。 π的奇妙之處有許多。譬如，河流的彎曲系數(shù)與π有關(guān)。某段河流的彎曲系數(shù)指該段從始點到終點的曲線長度與兩點直線距離之比。河流在特殊地形的作用下，有的地方非常彎曲，有的地方則相對平直，各個區(qū)段的彎曲系數(shù)可高可低，如果求所有區(qū)段彎曲系數(shù)的均值，這個均值居然接近于π。又如，π與音樂也有某種奇特的關(guān)聯(lián)。將π的數(shù)值作音高，其中0作休止符，8與9分別作高音1（Do）與高音2（Re），按3.1415926……的無限延伸，配上一定節(jié)奏，就會形成絕妙的旋律，給人以美的享受。當(dāng)然節(jié)奏不同，旋律亦不同。<br> 諸如此類，奇怪嗎？不必，這是大自然的數(shù)學(xué)之謎！ <h3 style="text-align: center">二、自然底數(shù)e</h3> e是自然底數(shù)，值為2.718281828……，亦無限不循環(huán)。這個常數(shù)是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾研究對數(shù)時引進的，后瑞士數(shù)學(xué)家歐拉將它定名為e。關(guān)于e的趣聞很多。 google是美國500強公司之一，主要開展搜索引擎業(yè)務(wù)，其在中國市場曾占有很大份額。后百度逐步蠶食了google在中國市場的份額，并取代了google。 google實際上是一種錯誤的拼寫，英語中并沒有這個單詞，正確的拼寫應(yīng)是googol，其意思是10的100次方（10^100），這個數(shù)字太大了，是個天文數(shù)字。公司認(rèn)為這個數(shù)字只有通過指數(shù)e的x次方（e^x）才能達到，希望公司業(yè)務(wù)能像e的x次方一樣增長。在發(fā)布會上，該公司誤將googol發(fā)布為google，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯了，木已成舟，于是，公司名稱就以錯誤的拼寫google沿襲下來了。 google公司上市時，以e的前十位數(shù)、即以2.718281828……的前十位數(shù)作為融資總額，他們認(rèn)為e是一種具有自然之美的常數(shù)，希望這個數(shù)能給公司發(fā)展帶來好運。果不其然，它確為公司帶來了好運。 <p class="ql-block">常數(shù)e的身影在自然界到處可見。中國有句成語叫“飛蛾撲火”，說的是夜間飛行的蛾子見到火光就會撲向那里。那么飛蛾為什么會撲火呢？這就與常數(shù)e有關(guān)。</p> 夜間飛行的蛾子在長期進化過程中形成星光導(dǎo)航的生理機能，它的飛行軌跡與星光線成45度角。因為天體遙遠，傳到地球的光線呈平行光，蛾子按與星光成45度角飛行則呈直線飛行。而地面上火光不是平行光而散射光，蛾子仍按這種角度飛行，它的飛行軌跡就不是直線，而是e的θ次方（e^θ）螺線，結(jié)果越來越接近火光，以致?lián)湎蚧鸸狻? 常數(shù)e還與經(jīng)濟生活有關(guān)，譬如利息的計算。利息計算有種復(fù)利形式，復(fù)利指將新產(chǎn)生的利息作為本金投入后再計息，也就是通常說的“利滾利”。有人以為計息的周期越短，計息的次數(shù)越多，形成的利息就越高，其實這是種誤解。研究發(fā)現(xiàn)，無論周期有多短、計算次數(shù)有多少，利息之和總不可能超過本金的e倍，即不可能超過2.718281828……倍。這個結(jié)論，高等數(shù)學(xué)的“兩個重極限之二”已給出了證明。啊，神奇的常數(shù)e！