學(xué)會探索 化難為易汪金明 <h1>學(xué)會探索 化難為易<br>汪金明<br>2022年8月27日<br>2022年8月18日我做了華師-小學(xué)奧數(shù)教練二群（QQ群）的2022年8月17日的作業(yè)題，乍一看題，感到毫無頭緒，后來想“圖難于其易”，我就從簡單的圖形開始尋找規(guī)律。求出了正著放置的正方形個數(shù)是1785，斜著的我就沒有繼續(xù)做。2022年8月22日到深圳后，我嘗試著求斜著放置的正方形個數(shù)，根據(jù)題目要求“作邊長是整數(shù)的正方形”個數(shù)，我就想到斜著放置的正方形的邊長和它對應(yīng)的兩條直角邊應(yīng)該符合勾股數(shù)的要求，我同樣從較小的勾股數(shù)入手找規(guī)律，竟然求出了斜著放置的正方形個數(shù)是276個。1785+276=2061（個）<br> 以網(wǎng)格的格點為頂點作邊長是整數(shù)的正方形合計為2061個。<br>下面我把探索過程詳細地介紹如下，以期對青少年學(xué)子的學(xué)習(xí)有所啟示。<br>一、題目：由單位正方形拼成的17×17網(wǎng)格，以網(wǎng)格的格點為頂點作邊長是整數(shù)的正方形有多少個？<br></h1> <h1>二、解答<br>（一）正著放置的正方形<br>我是這樣探索的，先畫個1×1網(wǎng)格圖（圖1），以它網(wǎng)格的格點為頂點作邊長是整數(shù)的正方形只有1個；再畫由單位正方形拼成的2×2網(wǎng)格圖（圖2），以它網(wǎng)格的格點為頂點作邊長是整數(shù)的正方形枚舉共有5個；又畫個由單位正方形拼成3×3網(wǎng)格圖（圖3），以它網(wǎng)格的格點為頂點作邊長是整數(shù)的正方形枚舉共有14個。1、5、14三個數(shù)有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？觀察發(fā)現(xiàn)：</h1> <h1>1、5、14、…、n這些數(shù)要是看做一個數(shù)列</h1> <h1>舉驗證得到：在4×4網(wǎng)格圖中，以網(wǎng)格的格點為頂點作邊長是整數(shù)的正方形枚舉共有30個，具體為只有一個單位格組成的正方形4×4=16（個），有四個單位格的組成的正方形3×3=9（個），有九個單位格的組成的正方形2×2=4（個），有16個單位格的組成的正方形只有1個，16+9+4+1=30（個）?！纱送瞥鲇脝挝徽叫纹闯傻?7×17網(wǎng)格，以網(wǎng)格的格點為頂點作邊長是整數(shù)的正著放置的正方形個數(shù)為 </h1> <h1>=17×（17+1）×（2×17+1）÷ 6=1785（個）</h1><h1>結(jié)論一：以網(wǎng)格的格點為頂點，邊長是整數(shù)的正方形中，正著放置的正方形個數(shù)為1785。</h1> 圖1 圖2 圖3 <h1> 圖4</h1><h1><br></h1><h1>在枚舉計數(shù)時，不要硬數(shù)，而要運用分類計數(shù)和平移的方法。以圖3的3×3網(wǎng)格圖（圖3）為例，枚舉計數(shù)時，可以分成三類進行，只有1個單元格組成的正方形是3×3=9（個）；只有4個單元格組成的正方形是2×2=4（個），這里就要運用平移的方法，圖3的左上角的2×2正方形可以向右平移一次，還可以向下平移一次，計2×2=4（個）；只有9個單元格組成的正方形是1個。合計：4+9+1=14（個）。<br>（二）斜著放置的正方形<br> 斜著放置的正方形的邊是直角三角形的斜邊，所以，這樣的正方形的邊必須存在一組勾股數(shù)。在用單位正方形拼成的17×17網(wǎng)格里，斜著放置的正方形勾股數(shù)只有三組，分別是：</h1> 圖5 圖6 <h1> 圖7</h1><h1><br></h1><h1>求斜著放置的正方形個數(shù)同樣要由畫簡易圖開始進行探索，先根</h1> <h1>正方形拼成的14×14網(wǎng)格圖（圖6）、17×17網(wǎng)格圖（圖7）中各可以畫出2個以網(wǎng)格的格點為頂點，邊長是整數(shù)的正方形。<br>7×7網(wǎng)格圖（圖5）放在17×17網(wǎng)格圖（圖7）中的左上角可以分別向右、向下平移10次，共有斜著放置的正方形<br>（10+1）×（10+1）× 2=242（個）；14×14網(wǎng)格圖（圖6）放在17×17網(wǎng)格圖（圖7）中的左上角可以分別向右、向下平移3次共有斜著放置的正方形（3+1）×（3+1）× 2=32（個）。斜著放置的正方形個數(shù)為242+32+2=276（個）。<br>結(jié)論二：以網(wǎng)格的格點為頂點，邊長是整數(shù)的正方形中，斜著放置的正方形個數(shù)為276。<br>1785+276=2061（個）<br>結(jié)論三：由單位正方形拼成的17×17網(wǎng)格，以網(wǎng)格的格點為頂點作邊長是整數(shù)的正方形有2061個。<br>樹立“圖難于其易”的思想，學(xué)會探索、善于探索，常常能幫我們解決復(fù)雜繁難的問題，青年學(xué)子不可不注重探索的價值。</h1>