《學習筆記》分享小學數學部分精品例題歸納＆解析

辛鈺明

從《精品文檔小學數學典型應用題歸納匯總30種題型》中選擇了幾種常用題型例題，不僅對小學生學習數學有所幫助，還能激發(fā)他們對學習數學的興趣和提高其思維能力。這些題對老年人提高大腦活力和思維能力也有一定好處和幫助，為此對有些不常用的和偏題就沒有被納入，而是有針對性的選擇了以下十二種常用題型，通過改編和添加插圖保存到該篇中以便于學習和參考。01歸一問題 02歸總問題 03和差問題 04和倍問題 05差倍問題 06相遇問題 07追及問題 08年齡問題 ?09牛吃草問題 10雞兔同籠題?11幻方問題 12構圖布數問題 ?1, 歸一問題 【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。 【數量關系】總量÷份數＝1份數量 1份數量×所占份數＝所求幾份的數量 另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數 【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。 例1 ，買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ ? 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6÷5＝0.12（元） ?（2）買16支鉛筆需要多少錢？ 0.12×16＝1.92（元） ? 列成綜合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元） 答：需要1.92元。 2 , 歸總問題 【含義】解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。 【數量關系】 1份數量×份數=總量 總量÷1份數量=份數 總量÷另一份數=另一每份數量 ?【解題思路和方法】 先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。 例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？ 解:（1）這批布總共有多少米？ ?3.2×791=2531.2（米） （2）現在可以做多少套？ 2531.2÷2.8=904（套） 列成綜合算式 :3.2×791÷2.8=904（套） ?答：現在可以做904套。 3 , 和差問題 【含義】已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。 【數量關系】 大數=(和＋差)÷ 2 小數=(和－差)÷ 2 【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。 例1 甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解:甲班人數=(98+6)÷2=52(人)乙班人數=(98-6)÷2=46(人) 答：甲班有52人，乙班有46人。 4，和倍問題 【含義】已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。 ?【數量關系】 總和÷(幾倍+1)較小的數 總和-較小的數 = 較大的數 較小的數 ×幾倍 = 較大的數 【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解 :(1)杏樹有多少棵？248÷(3＋1)=62(棵) (2)桃樹有多少棵？ 62×3=186(棵) 答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。 5 ,差倍問題 【含義】已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。 【數量關系】 ? 兩個數的差÷(幾倍-1)=較小的數 ? 較小的數×幾倍=較大的數 【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 例1 果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解 :（1）杏樹有多少棵？ 124÷(3-1)=62（棵） （2）桃樹有多少棵？ ? 62×3=186（棵） 答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。 6，相遇問題 【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。 【數量關系】相遇時間=總路程÷(甲速＋乙速) 總路程=(甲速＋乙速)×相遇時間 ?【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。………………例(由于該題比較典型故選此題): 甲乙二人同時從兩地騎自行車相對而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。 解 : “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時間=(3×2)÷(15-13)=3(小時)兩地距離=(15＋13)×3=84(千米) 答：兩地距離是84千米。 7，追及問題 【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。 【數量關系】 追及時間=追及路程÷(快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速)×追及時間 【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解 :?(1)劣馬先走12天能走多少千米？75×12=900(千米)(2)好馬幾天追上劣馬？ 900÷(120-75)=20（天） 列成綜合算式 75×12÷(120-75)?=900÷45=20(天) 答：好馬20天能追上劣馬。 ……………………………………例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 :?小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40×(500÷200)]秒，所以小亮的速度是 (500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3米/秒 答：小亮的速度是每秒3米。 8，年齡問題 【含義】這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。【數量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。 例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解 35÷5=7（倍）(35+1)÷(5+1)=6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。 例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解 (1)母親比女兒的年齡大多少歲？ 37-7=30（歲） (2)幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷(4-1)-7=3(年)列成綜合算式 (37-7)÷(4-1)-7=3(年) 答：3年后母親的年齡是女兒的4倍例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？ 解今年父子的年齡和應該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為 :49＋3×2＝55（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于(4+1)倍，因此，今年兒子年齡為 55÷(4+1)=11（歲） 今年父親年齡為 11×4=44(歲) 答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。? 例4 甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？解 :這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： 這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： 表中二個＂□＂表示同一個數，表中二個＂△＂表示同一個數。因為兩個人的年齡差總相等：?□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為 (61-4)÷3=19(歲) 甲今年的歲數為 △=61-19=42(歲) 乙今年的歲數為 □=42-19=23(歲) 答：甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是23歲 9，“牛吃草”問題 【含義】 “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。 【數量關系】草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數【解題思路和方法】解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。 例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？ 解草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答： （1）求草每天的生長量 ? 因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以1x10x20=原有草量÷20天內生長量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天內生長量 由此可知（20－10）天內草的生長量為 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天內草總量 5 天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125 （4）求多少頭牛5 天吃完草因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數 125÷5＝25（頭） 答：需要5頭牛5天可以把草吃完。 例2 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發(fā)現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？ 解這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量 因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量 10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量 所以，（10－3）小時內的進水量為 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小時的進水量為 14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30 （3）求17人幾小時淘完 17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時） 答：17人2小時可以淘完水。 10 ，雞兔同籠問題 【含義】這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。【數量關系】第一雞兔同籠問題: 假設全都是雞，則有兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2） 假設全都是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2） 第二雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有 兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2） 假設全都是兔，則有 雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解 例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？解假設35只全為兔，則雞數=（4×35-94）÷（4-2）=23（只）兔數7=35-23=12（只）也可以先假設35只全為雞，則 兔數=（94-2×35）÷（4-2）=12（只）雞數=35-12=23（只） 答：有雞23只，有兔12只。 例2（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？ 解假設100只全都是雞，則有 兔數=（2×100-80）÷（4+2）=20（只）雞數=100-20=80（只）答：有雞80只，有兔20只。 　例3，有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？ 解假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人） 共有大和尚 100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。 11，幻方問題 【含義】把n×n個自然數排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。【數量關系】每行、每列、每條對角線上各數的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。 三級幻方的幻和＝45÷3＝15 ?五級幻方的幻和＝325÷5＝65 ?【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數，然后再確定其它方格中的數。 例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數的和相等。解 幻和的3倍正好等于這九個數的和，所以幻和為 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九個數在這八條線上反復出現構成幻和時，每個數用到的次數不全相同，最中心的那個數要用到四次（即出現在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數各用到三次，其余的四個數各用到兩次?？磥恚玫剿拇蔚摹爸行臄怠钡匚恢匾?，宜優(yōu)先考慮。 設“中心數”為Χ，因為Χ出現在四條線上，而每條線上三個數之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）+（4－1）Χ＝15×4 即 45＋3Χ＝60 所以 Χ＝5 接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數的位置，它們分別在四個角，再確定其余四個奇數的位置，它們分別在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結果。 例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數填到九個方格中，使每行、每列、以及對角線上的各數之和都相等。解 只有三行，三行用完了所給的個數，所以每行三數之和為 ?（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18 假設符合要求的數都已經填好，那么三行、三列、兩條對角線共8行上的三個數之和都等于18，我們看18能寫成哪三個數之和：最大數是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3 最大數是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4 最大數是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4 最大數是7： 18＝7＋6＋5 剛好寫成8個算式。首先確定正中間方格的數。第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數，共用了四次。觀察上述8個算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應填6。 9 4 5 2 6 7 8 然后確定四個角的數。四個角的數都用了三次，而上述8個算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應填在四個角上。但還應兼顧兩條對角線上三個數的和都為18。10 3 最后確定其它方格中的數。如圖。 ??????????????????以下另補充4階幻方的二種制作方法 12，構圖布數問題 【含義】這是一種數學游戲，也是現實生活中常用的數學問題。所謂“構圖”，就是設計出一種圖形；所謂“布數”，就是把一定的數字填入圖中。“構圖布數”問題的關鍵是要符合所給的條件。【數量關系】根據不同題目的要求而定。【解題思路和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構圖布數，符合題目所給的條件。 例1 :十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。 解符合題目要求的圖形應是一個五角星。?4×5÷2=10因為五角星的5條邊交叉重復，應減去一半。 例2 九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。 ?解 :符合題目要求的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形，一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。 　　例3 九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。解 :符合題目要求的圖形是一個三角形，每邊栽4棵樹，三個頂點上重復應減去，正好9棵。 4×3－3＝9