<p class="ql-block"> 最有印象的課程</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"> 2024年4月28日</p><p class="ql-block"> （曾建強）</p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"> 近日，讀中青報記者采訪北大教育學院副院長劉云杉教授談當前教育的訪談錄，文中提到，劉教授在面試大學生時發(fā)問：你對大學本科里哪門課程印象最深？</p><p class="ql-block"> 這一刻，我耳旁似傳來由文字轉化的微弱聲音，沉思良久，回憶起40多年前都學了什么。大學課程幾十門，大多已模糊了，較有印象的有《平面幾何》《初等數(shù)論》和《泛函分析》，其中的牛頓線，費馬數(shù)和黎斯表現(xiàn)定理又歷歷在目，但印象最深的還是《數(shù)學分析》這門課。</p><p class="ql-block"> 1978年的金秋十月，我拂去頭上的稻衣，洗清雙腳的泥巴，懷著強烈的求知欲，夢想能為實現(xiàn)四個現(xiàn)代化作出些貢獻，瞳景著美好的未來，踏入了戲稱的＂南橋大學”一一宣春師專萍鄉(xiāng)大專班一一借寄在南門橋萍鄉(xiāng)師范學校。</p><p class="ql-block"> 記得入學時，領到上下兩本厚厚的《數(shù)學分析》課本，對這書名產(chǎn)生了好奇。心想，《數(shù)學分析》應是本解析做數(shù)學題的方法指導書，隨手一翻，滿眼定義定理，與直覺大相徑庭?！稊?shù)學分析》中講導數(shù)，這一點深深地吸引了我。這是緣于我知青時，為求圓與橢圓相切時的公切線方程，讀過一本美國人寫的《應用數(shù)學基礎》，其中就有求導。</p><p class="ql-block"> 教我們《數(shù)學分斬》這門課，起初是胡鎮(zhèn)老師。他每天將頭梳得油光水滑，身著一件半長的白大卦，一塵不染，十分搶眼。胡老師講起課來，左邊嘴角總稍上翹地微笑，有一股耗不盡的昂揚斗志。他講數(shù)列極限的∈一6語言定義，利用數(shù)形結合分析，但其抽象性，還是讓我非常迷糊，這都只能怪我當時的數(shù)學基礎太糟糕。后來這一精確語言在定義連續(xù)函數(shù)的極限，甚至后來實函泛涵都出現(xiàn)，才完全掌握，印記在心。</p><p class="ql-block"> 胡老師教了一年多，后由何美倫老師接任。何老師在講概念和定理證明時，不管內容有多長多復雜，他不看講義不看書，板書出來的內容與課本一字不漏，連標點符號都一樣。何老師的記憶力理解力，讓我們學生都感到驚訝，欽佩不已。</p><p class="ql-block"> 上大學的時候，盡管生活條件一般，兜里的零花錢不多，但我學《數(shù)學分析》這門課卻十分賣勁，買了好幾套同內容的書。除學校發(fā)的武漢大學，吉林師范大學的2套《數(shù)學分析》外，還在新華書店賣了清華大學，復旦大學的講義，德國羅德著的《高等數(shù)學》，以及在學校資抖室買了蘇聯(lián)菲赫金哥爾茨著一共8冊的《微積分學教程》，還有蘇聯(lián)吉米多維奇的《數(shù)學分析習題集》和配套的6本解答集?，F(xiàn)在，這些書都還在，學習的筆記和一疊作業(yè)本也都保存得完好。但武漢大學編的《數(shù)學分析》，卻變成了一小疊一小疊的活頁，好象在說當年讀它時有多用功，其實這與當時書的膠裝質量不過關不無關系。</p><p class="ql-block"> 胡鎮(zhèn)老師移民香港前夕，我替他從萬龍山買了一麻袋冬筍，以為通關小意。他走時，我們好多個同學到老師家道別。臨出門時，胡老師與我互換了那套蘇聯(lián)的《微積分學教程》以作師生一場的紀念。與胡老師換的這套書，至今珍藏在我的書架上。書中胡老師的眉批橫注，字跡早已模糊，但他的形象在我的腦海里依然清哳。</p><p class="ql-block"> 與胡老師一別20多年后的國慶節(jié)期間，打聽到他從香港回萍鄉(xiāng)省親，我與舒行德一起到胡老師的住處相請，邀上十幾個同學一起在秋收起義場敘師生情誼，合影留念。</p><p class="ql-block"> 我們上大學時，既無風扇更無空調，夏天熱得小汗連大汗。為避暑，我和周敬優(yōu)，晏海等一干人，還曾去過原萍鄉(xiāng)飯店（現(xiàn)永生璞琚酒店）下的防空洞里讀書。在防空洞里學習傅里葉級數(shù)和多重積分，仿佛是要把洞的容積求出來。</p><p class="ql-block"> 《數(shù)學分析》學了兩年才結課，我最沒學懂的是求多元隱函數(shù)的導數(shù)，后來證明還沒真過關。大三剛開學，學校突然襲擊，要用宜春師專的試卷測試我們《數(shù)學分析》課的成績。我們都納悶。暑假，我和好多同學一樣，把課本都帶回了家。當時，來不及回家取課本作復習，圖書室也借不到，只得憑記憶和基本功參加考試。出人意料，這次考試我們班考了多個滿分。很幸運，我也是其中一個。</p><p class="ql-block"> 1981年，我畢業(yè)分配在鄉(xiāng)村高中當老師，卻不甘于讀書學習就樣結束了。工作不久，便與晏海，廖建鋼，楊基鳳等同學，還有大安中學人稱小華羅庚的王庚林校長組成一個學習小組，又重學起了數(shù)學分析。記得讀大學時胡老師在講實數(shù)理論六大定理時說過，這些定理本質是等價的，它們間可以互證。學習小組就以實數(shù)連續(xù)性定理互證為課題，大家一起研討定理證明。小組在星期天開展活動，在蘆溪、大安、宣風、上埠都活動過。其中有一個定理實在想不到證明方法，我騎自行車到萍鄉(xiāng)，去何美倫老師家里請教。何老師沒正面回答我的問題，卻借給了我一本最新的美國人（忘記了作者名）著的《數(shù)學分析》。我回家認真地看了一遍，雖然沒有找到我要的定理證明，卻發(fā)現(xiàn)，書中的無窮數(shù)列，區(qū)間套等記法符號非常科學，這也算是又開了眼界。最后，我斷續(xù)思考了一個星期，終于完成了這個定理的證明?；プC工作基本完成，后又由晏海加入了對迪戴金分割定理和阿基米德性質的證明，課題算是完成了。我們把以前定理表述和證明中的符號，都改為了最新形式，整理成了一份完整的手稿。1982年3月，互證工作完成后，學習小組也隨之解散了。小組不能長期堅持活動，這也是必然的。</p><p class="ql-block"> 又過了20年，我把互證手稿錄入電腦，印成了一本《實數(shù)連續(xù)性基本定理的互證》小冊子，以紀念當年的學習。</p><p class="ql-block"> 大學學的內容，除極限，導數(shù)和積分在教學中用得上，絕大多數(shù)知識都未直接應過。這當然不能以此說大學無用論。其是，大學學習，對多數(shù)人不是知識的運用，而是通過學習強化了邏輯思維，積蓄了許多解決題的思路和方法，能站在更高更全局的位置上抓住現(xiàn)象的本質，從而在工作生活中更能得心應手。大學學習，奠定了以后接受新知識的基礎，培養(yǎng)了繼續(xù)學習的能力，在無形中發(fā)揮巨大的作用。</p><p class="ql-block"> 學習和學歷，在人生中都十分重要。1988年，我又用一個多月復習了幾門大學數(shù)學課，參加了江西省的成人考試。這次考試中的《數(shù)學分析》，我考了95分高分，以全省總分第二名的成績考入了江西教育學院數(shù)學系脫產(chǎn)進修本科。</p><p class="ql-block"> 一年后的暑假，我應蘆溪區(qū)教師進修學校羅增能校長之聘，為全區(qū)中學數(shù)學老師過關考試的《數(shù)學分析》授課。接受任務時，我顯得滿有信心。舉辦單位沒給我培訓的教材，只能每天輪換著借學員的課本備課。每天白天連續(xù)上5個小時的課，中午和晚上備課，寫下了厚厚二百余頁的講義，用連續(xù)20天講完了我們上大學時兩年的內容。</p><p class="ql-block"> 培訓中，一個失敗一個成功的案例記憶很深。我自己選的一道要用定積分定義來解的題，講著講著就斷了思路。我思考一小會仍沒找到解決的方法，備課時也只抄題沒寫解答過程，時間不允許我耗在這里，只能對學員說暫時放棄這一題。當講到多元微分的應用時，為節(jié)約時間，我只準講2個典型應用公式的推導，余下3個公式推導的思路方法幾乎與前相同，便對學員說，為節(jié)約時間，剩下的幾個公式由你們自己課后去看教材上的推導過程。可是，學員正聽得上路，堅決要求把后面的幾個公式也推導一遍。我只有在沒有準備的情況下講完了全部公式的推導。</p><p class="ql-block"> 培訓期間，我萍鄉(xiāng)高專的老師何美倫教授，恰在進修學校給另外一批學員授課。趁此難得的機會，我請何老師為我們班學員命了2份測試題。通過何老師的試卷，我了解到了課程的新變化和當前考試題型的特點。以何老師的試卷為樣板，我又把自已認為的重點內容和題型，也命了2份試卷，與何老師的試卷的形成補充。培訓的最后一天，把這4份試卷認真講了一遍。這是我唯一講過的大學課程。</p><p class="ql-block"> 9月，我去江西教育學院讀書，在系郭助理那了解到，全省教師過關考試在我們學院閱卷。于是我來到成教處，看到了萍鄉(xiāng)市各區(qū)學員《數(shù)學分析》的成績。蘆溪區(qū)的學員除一個只考57分的外，其余都及格了，我感到特別欣慰。而另外3個區(qū)，一區(qū)最多只3人及格，有個區(qū)一個及格的都沒有。</p><p class="ql-block"> 從蘆中調市教研室工作后，有一次高中物理教研員施向方問我，曲率如何求？學過的東西丟得太久了，我想了一會才說出曲率的導數(shù)公式，并知曲率半徑為曲率的倒數(shù)。他笑著說，我問過好多數(shù)學老師，他們都一時答不上。我也笑著說，原來你是來考我。我兩人又相視而笑。</p><p class="ql-block"> 2009年，江西高考數(shù)學填空題的最后一題，我一看，知命題老師（大學教授）是以曲線的包絡為背景轉化過來的。后我問了幾個高中數(shù)學老師，他們都不知道包絡的概念。這時我疑乎了，自己也只知有包絡，如何求曲線簇的包絡也不清楚，難道大學時沒學過嗎？</p><p class="ql-block"> 我立即在舊書中翻出《數(shù)學分析》課本，想在書中找到答案。的確，我們讀的國內幾所大學編的數(shù)學分析講義都沒出現(xiàn)包絡的概念。直到查看菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》和吉米多維奇的《數(shù)學分析習題集》，才找到這方面的內容。在《微積分學教程》書里，包絡都是用小字排版的閱讀內容，難怪多數(shù)大學生對包絡都不清楚。大學畢業(yè)時間太久了，過去學過從沒用到的知識已幾近遺忘。我又花了點時間重新研習一番數(shù)學分析，促成了《曲線系的包絡及其簡單幾何特點》這篇論文的發(fā)表。</p><p class="ql-block"> 《數(shù)學分析》算是與我后來工作相關度較高的課程，但也只是偶有一丁點應用?；貞浧鹋c這門課程相聯(lián)的點點滴滴，以印證它是我最有印象的大學課程。</p><p class="ql-block"> 時間流逝的很快，現(xiàn)在我已退休了，一切所學都又還給了老師。山回路轉君不見，雪上空留馬行處。劉教授之問，讓我唏噓不已。</p>