<p class="ql-block">作者：羅蘭(原創(chuàng)作品)(專題講座)</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">尊敬的教學(xué)同仁、親愛的小伙伴們，大家好！</p><p class="ql-block"> 發(fā)展興趣，點(diǎn)化思維。今天我們一起來(lái)探討“趣味數(shù)學(xué)”的話題。</p><p class="ql-block"> 興趣像一顆種子，遇到合適的土壤，擁有空氣、水分和陽(yáng)光，就能茁壯成長(zhǎng)。</p><p class="ql-block"> 還記得學(xué)生時(shí)代，我酷愛數(shù)學(xué)，尤其喜歡做奧數(shù)。一本又一本，一題又一題，遇到難題不是去找老師，而是自己換個(gè)思路繼續(xù)研究。山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村。每每攻破難題，心里特別歡喜，很有成就感。</p><p class="ql-block"> 走進(jìn)三尺講臺(tái)，發(fā)現(xiàn)我的學(xué)生也熱愛數(shù)學(xué)，喜歡挑戰(zhàn)疑難。于是我利用延時(shí)服務(wù)課的時(shí)間，帶領(lǐng)全班同學(xué)探究課本上的思考題。從中發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)思維活躍，興趣濃厚，我又義務(wù)輔導(dǎo)這些孩子做數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，鼓勵(lì)他們每天做一到三個(gè)題目。興趣激活思維，習(xí)慣練就能力。同學(xué)們進(jìn)入初中和高中學(xué)習(xí)，不斷傳來(lái)好消息。一屆又一屆，一批又一批，211、985，北大、清華、南京、復(fù)旦……我應(yīng)邀出席眾多學(xué)生的謝師宴，家長(zhǎng)感恩我是孩子的指路明燈！我感激同學(xué)們有出息！</p><p class="ql-block"> 智慧接力，今天我的團(tuán)隊(duì)成員帶領(lǐng)孩子們一同挑戰(zhàn)趣味數(shù)學(xué)。課堂妙趣橫生，意猶未盡；師生心花怒放，心曠神怡。</p><p class="ql-block"> 興趣發(fā)芽，種子開花，我有了一個(gè)想法，那就是研發(fā)校本教材。今年暑假，我做了一個(gè)校本研究方案。希望學(xué)校新增一門思維訓(xùn)練課，并邀請(qǐng)校長(zhǎng)和數(shù)學(xué)組教師參加校本研究。受客觀條件限制，思維訓(xùn)練課被擱淺，但我的研究并未停止。以三年級(jí)教材為依托，我獨(dú)立撰寫校本課例，準(zhǔn)備做十五個(gè)有關(guān)《趣味數(shù)學(xué)》的專題，目前已做好四個(gè)：《巧填運(yùn)算符號(hào)》《上樓問(wèn)題》《數(shù)陣圖與幻方》《最短路線問(wèn)題》。根據(jù)專題內(nèi)容，我確定研究方向，構(gòu)建教學(xué)模式，搭好教學(xué)框架，然后邀請(qǐng)工作室名師上示范課。小組合作研究，組長(zhǎng)負(fù)責(zé)，線上聊課，線下磨課；團(tuán)隊(duì)集中做課，我給老師們提出修改建議和優(yōu)化方案。我們的目標(biāo)是：以興趣發(fā)展為導(dǎo)向，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性；以能力提升為宗旨，落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)內(nèi)容分星級(jí)挑戰(zhàn)，力求“范例精講”和“例題改編”面向80%的學(xué)生，“隨機(jī)應(yīng)變”面向60%的學(xué)生，“思維拓展”面向40%的學(xué)生。在省內(nèi)小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，研發(fā)《趣味數(shù)學(xué)》校本教材的團(tuán)隊(duì)，羅蘭名師工作室是第一個(gè)；作為工作室核心成員，勇于挑戰(zhàn)，積極承擔(dān)示范課任務(wù)的老師，王美鋒、何玲、吳艷萍是第一批。</p> <p class="ql-block"> 作為教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)者，教師要精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)挑戰(zhàn)興趣，點(diǎn)撥智慧迷津，培養(yǎng)思維能力。作為課堂學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生要善于觀察與猜測(cè)，思考與聯(lián)想，分析與推理，應(yīng)用與創(chuàng)新。下面，我們結(jié)合今天的三堂課進(jìn)行分析。</p> <p class="ql-block"> 《巧填運(yùn)算符號(hào)》側(cè)重?cái)?shù)感和計(jì)算能力的培養(yǎng)，關(guān)注分析和說(shuō)理。教學(xué)關(guān)鍵：引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，合理選擇解題方法。比如，在相鄰的兩個(gè)數(shù)之間填上加號(hào)或減號(hào)，要使等式成立，應(yīng)該怎么填？8 7 6 5 4 3 2 1 = 24。當(dāng)數(shù)據(jù)比較多且數(shù)字比較小，目標(biāo)得數(shù)也不大，我們通常選擇假設(shè)法。假設(shè)通加，看運(yùn)算得數(shù)與目標(biāo)得數(shù)相差多少，再進(jìn)行調(diào)整。加一個(gè)數(shù)變成減這個(gè)數(shù)，結(jié)果相差多少？學(xué)生理解有點(diǎn)困難，并且容易出錯(cuò)。突破教學(xué)難點(diǎn)的好辦法便是數(shù)形結(jié)合，化抽象為直觀。可利用數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)(比如8)分別加1、減1，加2、減2，加3、減3……一一列舉，算式和數(shù)軸對(duì)照，結(jié)果兩個(gè)得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間剛好相差2個(gè)1、2個(gè)2、2個(gè)3……學(xué)生逐步領(lǐng)悟到：加幾變成減幾，結(jié)果少了這個(gè)數(shù)的2倍。因勢(shì)利導(dǎo)：2個(gè)幾用乘法怎么表示？2×1，2×2，2×3……2×( )。已知2×( )=12，逆向思考：12除以2是多少？這樣一來(lái)，算理通透，學(xué)生不僅做得出來(lái)，還能說(shuō)得明白：如果運(yùn)算結(jié)果比目標(biāo)得數(shù)多2，加1變減1；多4，加2變減2；多6，加3變減3……以此類推，相差幾就減這個(gè)數(shù)的一半。相差12只要減6，因?yàn)?2÷2=6。原本減12的同學(xué)，通過(guò)反思知道錯(cuò)在哪里；一些反復(fù)試數(shù)的同學(xué)也有了思考的技巧。今天王老師突破難點(diǎn)的方法更勝一籌！通過(guò)移動(dòng)彩色小方塊形象生動(dòng)地演繹：加幾變減幾，結(jié)果相差兩個(gè)幾。點(diǎn)燃思考興趣，同學(xué)都懂得了這個(gè)道理。</p><p class="ql-block"> </p> <p class="ql-block">改編例題，引發(fā)新的思考。8 7 6 5 4 3 2 1 = 45。目標(biāo)得數(shù)變大，采用通加的方法解決不了問(wèn)題。矛盾沖突迫使孩子們另辟蹊徑，找一個(gè)兩位數(shù)的想法水到渠成。理解“合適的位置”是前提，找一個(gè)和目標(biāo)得數(shù)相接近的兩位數(shù)是關(guān)鍵。憑感覺，孩子們一般會(huì)想到43，43+2=45，認(rèn)為越接近越好。但剩下的數(shù)通加：8+7+6+5+1=27，27÷2有余數(shù)，也就是不能分成得數(shù)相等的兩份，無(wú)論怎么加減，這個(gè)算式的結(jié)果都不會(huì)是0，所以此路不通。往前走一步，54是比較理想的數(shù)據(jù)，它和45只相差9。融入湊數(shù)的思路，先搞定目標(biāo)得數(shù)，再使剩下的數(shù)運(yùn)算結(jié)果為0。54-7-2=45，將剩下的數(shù)通加：8+6+3+1=18，18÷2=9。相差18，加9變減9即可。8-7－6+54－3－2+1=45，等式成立。分兩步思考，先湊數(shù)再小通加，順應(yīng)孩子們的思維。有些同學(xué)選擇大通加，一步到位解決問(wèn)題。8+7+6+54+3+2+1=81，81-45=36，36÷2=18，8-7－6+54－3－2+1=45。由此可見，孩子們對(duì)例題的學(xué)習(xí)比較透徹，靈活應(yīng)用知識(shí)的能力也不錯(cuò)。</p> <p class="ql-block"> 隨機(jī)應(yīng)變，同中求異，異中求同。在合適的位置填上+、－、×、÷或( )，要使等式成立，又該怎么填？ 8 7 6 5 4 3 2 1 = 45， 在原有的基礎(chǔ)上融入逆推法，從最后一個(gè)數(shù)出發(fā)思考。根據(jù)1的計(jì)算特點(diǎn)，假設(shè)它前面是乘號(hào)或除號(hào)，43就是明智的選擇。因?yàn)?×1或2÷1都等于2，43+2=45，目標(biāo)得數(shù)已搞定，剩下的問(wèn)題便迎刃而解。</p><p class="ql-block"> 8 - 7 - 6 + 5 + 4 3 + 2 × 1=45</p><p class="ql-block"> 8 - 7 - 6 + 5 + 4 3 + 2 ÷ 1=45</p><p class="ql-block"> 假如選定21，逆向思考，21前面的數(shù)通過(guò)運(yùn)算必須等于24，假設(shè)通加的方法解決不了問(wèn)題，只能在3的前面填乘號(hào)，借助小括號(hào)使3前面的數(shù)運(yùn)算結(jié)果等于8。當(dāng)然我們還可以根據(jù)15×3=45來(lái)思考：（這類題型，“假設(shè)、湊數(shù)、逆推”相互融合，相得益彰。</p><p class="ql-block">（8 - 7 + 6 + 5 - 4）×3 + 2 1=45</p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;">8 + 7 - 6 + 5 +4-3 ）×（2+1）=45</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:18px;"> </span> 當(dāng)?shù)仁絻蛇呌邢嗤臄?shù)，我們毫無(wú)疑問(wèn)首選逆推法，再將<span style="font-size:18px;">逆推、湊數(shù)、通加融為一體</span>。比如：7 6 5 4 3 2 1=1</p><p class="ql-block">方法一</p><p class="ql-block">(7-6+5-4-3+2)×1=1</p><p class="ql-block">7-6+5-4－3+2×1=1</p><p class="ql-block">(7-6)×(5-4)×(3-2)×1=1</p><p class="ql-block">方法二：</p><p class="ql-block">(7-6+5-4-3+2)÷1=1</p><p class="ql-block">7-6+5-4－3+2÷1=1</p><p class="ql-block">(7-6)÷(5-4)÷(3-2)÷1=1</p><p class="ql-block">方法三：</p><p class="ql-block">7×(6-5+4-3-2)+1=1</p> <p class="ql-block"> 玩24點(diǎn)游戲更富有挑戰(zhàn)性。從1～13當(dāng)中任意選四個(gè)數(shù)，通過(guò)加減乘除運(yùn)算，使得數(shù)等于24。思考：8×3=24 ，6×4=24，12×2=24，11×2+2=24，7×2+10=24，6×5-6=24……如果數(shù)字比較小，并且有3、4、6、8中的某個(gè)數(shù)，解決問(wèn)題的首選是乘法，乘加或乘減。如果其中有兩位數(shù)，加減乘除混合運(yùn)算比較常用。</p><p class="ql-block">比如：可打亂順序</p><p class="ql-block">2 4 6 8→(8÷4+2)×6=24</p><p class="ql-block">→6÷(4÷2)×8=24→8×4－2－6=24→(6-2)×4+8=24</p><p class="ql-block">3 7 9 9→3×(7+9÷9)＝24</p><p class="ql-block">4 7 8 10→8÷4×7+10=24</p><p class="ql-block">……</p><p class="ql-block">不可打亂順序</p><p class="ql-block">10 10 4 4→(10×10－4)÷4＝24</p><p class="ql-block">10 8 7 8→10×8－7×8＝24</p><p class="ql-block">7 7 1 2→(7×7－1)÷2＝24</p><p class="ql-block">……</p><p class="ql-block">24點(diǎn)游戲比的完全是數(shù)感和口算能力。</p> <p class="ql-block"> 解決數(shù)陣圖問(wèn)題，歸因分析法比較經(jīng)典。無(wú)論是封閉型還是開放型，其中數(shù)據(jù)的布陣都是有規(guī)律的。找到了規(guī)律，可以秒填數(shù)據(jù)。如果毫無(wú)章法，只是反復(fù)湊數(shù)，或許最后可以解答出來(lái)，但效率非常低。如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們還得回過(guò)頭來(lái)找原因，那就是破解線和與數(shù)和之間的矛盾。任意兩條線相交，都有一個(gè)重疊數(shù)，因?yàn)橹丿B數(shù)的反復(fù)出現(xiàn)，導(dǎo)致線和相加的結(jié)果大于數(shù)和。兩條線相交重疊數(shù)多算一次，三條線相交重疊數(shù)多算兩次，四條線相交重疊數(shù)多算三次……根據(jù)這個(gè)規(guī)律，我們既可以求出重疊數(shù)是幾，還可以解決線上其它數(shù)的填寫問(wèn)題。比如：線和是3個(gè)數(shù)相加的兩條線相交，可以建立一個(gè)等式：3+4+★=▲+2+★。根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)去除重疊數(shù)，等式依然成立。已知三個(gè)數(shù)求第四個(gè)數(shù)，根據(jù)加減法之間的關(guān)系逆向思考，孩子們一般都能解決問(wèn)題，因此找合適的重疊數(shù)是關(guān)鍵。其實(shí)我們無(wú)需知道重疊數(shù)是幾，因?yàn)樵谟?jì)算的過(guò)程中它是要被抵消的；只要看哪兩條線相交出現(xiàn)了三個(gè)已知數(shù)，這三個(gè)已知數(shù)不包括重疊數(shù)在內(nèi)。有些同學(xué)往往容易掉入陷阱，比如3+6+★=3+4+★，看似知道三個(gè)已知數(shù)，實(shí)際只有兩個(gè)生效，顯然解決不了問(wèn)題。同樣的道理，在四邊形的圓圈內(nèi)填數(shù)，我們可以正向引導(dǎo)學(xué)生思考，還可以逆向強(qiáng)化學(xué)生思維。比如，為什么不找2或5這兩個(gè)重疊數(shù)？因?yàn)橄嘟坏膬蓷l線上只有兩個(gè)已知數(shù)生效。從封閉型到開放型，數(shù)陣圖靈活多變，歸因分析逐步升溫。</p> <p class="ql-block"> 歸因分析法不只適用數(shù)陣圖，解決幻方中的問(wèn)題依然好用。在三階幻方中畫“米”字形，產(chǎn)生4個(gè)幻和，橫豎及兩條對(duì)角線相交于一個(gè)中心數(shù)，這個(gè)中心數(shù)被多算了3次。根據(jù)等式的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)中心數(shù)剛好等于一個(gè)幻和。因?yàn)闄M看或豎看，三階幻方的總和都是三個(gè)幻和。4個(gè)幻和－3個(gè)幻和=3個(gè)中心數(shù)，一個(gè)幻和是中心數(shù)的3倍，每條線上剩下兩個(gè)數(shù)之和是中心數(shù)的2倍。發(fā)現(xiàn)這些秘密，皆源于歸因分析。運(yùn)用這個(gè)規(guī)律，幻方的填寫又多了一條思路。</p><p class="ql-block">比如，40+▲=57+30→▲=47；40+★=30×2→★=20?；梅降膴W妙與神奇的確令人著迷！奇數(shù)階、偶數(shù)階，羅伯法、楊輝法、對(duì)角線填法帶領(lǐng)學(xué)生走捷徑，快速搞定連續(xù)自然數(shù)的填寫，贏得寶貴的比賽時(shí)間。感興趣的話，老師們可以現(xiàn)場(chǎng)體驗(yàn)。黃金三角形填法也別具一格。以四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為參照，畫等腰三角形，底邊上的兩個(gè)數(shù)之和等于頂點(diǎn)數(shù)的兩倍。比如，57+37=2×( )，94÷2=47；57+( )=40×2，80-57=23……</p> <p class="ql-block"> 《最短路線問(wèn)題》的教學(xué)富有挑戰(zhàn)性，教師帶領(lǐng)學(xué)生闖迷宮，從大膽猜測(cè)有多少條路徑，到逐一落實(shí)每個(gè)格點(diǎn)標(biāo)數(shù)的原理，循序漸進(jìn)，步步為營(yíng)。對(duì)于三年級(jí)的孩子來(lái)說(shuō)，缺乏空間概念，沒有方向感，理解標(biāo)數(shù)的原理有困難是普遍現(xiàn)象。破解策略：明確方向，分層落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，側(cè)重有序思考和分析推理能力的培養(yǎng)。(1)體驗(yàn)畫線標(biāo)路徑的繁雜，引出標(biāo)數(shù)法；(2)說(shuō)明標(biāo)數(shù)為1的道理；(3)弄清楚標(biāo)數(shù)為2的方向來(lái)源；(4)落實(shí)標(biāo)數(shù)為3的算理；(5)仔細(xì)觀察，有序思考，發(fā)現(xiàn)標(biāo)數(shù)規(guī)律；(6)運(yùn)用規(guī)律，靈活解決實(shí)際問(wèn)題。復(fù)雜的問(wèn)題從簡(jiǎn)單的事例著手，一個(gè)正方形研究目標(biāo)方向，右上角必須向右、向上走，逆向行駛比較繞，不是最短路線，入口到出口的最短路線只有兩條。著重研究?jī)蓚€(gè)正方形的最短路線，弄清楚每個(gè)格點(diǎn)由來(lái)自哪個(gè)方向的路線，分別有幾條？為什么？使學(xué)生明白：和入口在同一條直線上的格點(diǎn)標(biāo)數(shù)都是1，因?yàn)橹挥衼?lái)自一個(gè)方向的路線，向右或向上；和入口相對(duì)角的格點(diǎn)C標(biāo)數(shù)之所以為2，是因?yàn)樗衼?lái)自兩個(gè)方向的路線，向右和向上各一條。出口處的標(biāo)數(shù)是學(xué)生最難理解的，他們通常會(huì)認(rèn)為是2，因?yàn)橛衼?lái)自向右向上兩個(gè)方向的路徑。教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系一個(gè)正方形思考，或借助之前的畫圖驗(yàn)證，從C點(diǎn)往上走到達(dá)出口的路線有兩條，從D點(diǎn)往右的路線有一條，合起來(lái)便是三條，所以標(biāo)數(shù)為3。兩個(gè)正方形的最短路線研究透了，4個(gè)、6個(gè)、25個(gè)正方形都不是問(wèn)題，只要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，思考先找哪個(gè)點(diǎn)，后標(biāo)哪個(gè)點(diǎn)，認(rèn)真計(jì)算不出錯(cuò)，學(xué)生都能愉快地走出迷宮。</p> <p class="ql-block"> 解決丁字路的問(wèn)題，依然要關(guān)注方向，分析每個(gè)點(diǎn)的標(biāo)數(shù)如何形成，關(guān)鍵是處理好丁字點(diǎn)上的標(biāo)數(shù)。比如點(diǎn)A和點(diǎn)B都只有來(lái)自一個(gè)方向的路線，從下往上走，不能從右往左走，它們的標(biāo)數(shù)都不做加法；點(diǎn)C和點(diǎn)D有來(lái)自兩個(gè)方向的路線，要將向右和向上的標(biāo)數(shù)相加。在某個(gè)點(diǎn)設(shè)置此路不通，為方便孩子們計(jì)算和理解，這個(gè)點(diǎn)可以標(biāo)0。此路不通的點(diǎn)有兩種情況，一種在格點(diǎn)上，一種在線上，要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情況分析，看它堵住了來(lái)自哪個(gè)方向的路。如果從入口到出口必須經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，這是乘法問(wèn)題，可以先計(jì)算入口到A點(diǎn)有多少條最短路線，再計(jì)算從A點(diǎn)出發(fā)到出口有多少條最短路線，最后將兩個(gè)標(biāo)數(shù)相乘。當(dāng)然你也可以選擇做加法，到達(dá)A點(diǎn)之后接著標(biāo)數(shù)，一氣呵成，兩種算法結(jié)果相同。在標(biāo)數(shù)計(jì)算的過(guò)程中，A點(diǎn)的左上方和右下方都無(wú)需標(biāo)數(shù)，這兩個(gè)區(qū)域的路線是反方向的。最后拓展延伸：從A點(diǎn)到B點(diǎn)，按箭頭方向行駛，有多少條路線？它要求的不是最短路線，而是全部路線。把握方向，弄清算理，解決最短路線問(wèn)題，孩子們得心應(yīng)手，興致濃厚。</p> <p class="ql-block"> 發(fā)展興趣，點(diǎn)化思維，從掛滿果實(shí)的樹中讀出美麗。</p><p class="ql-block"> 放飛夢(mèng)想，播種希望。在數(shù)學(xué)研究的天地里馳騁，一切皆有可能！</p>