<p class="ql-block">5.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象</p><p class="ql-block">課標(biāo)要求 1.了解用單位圓作正弦函數(shù)圖象的方法. </p><p class="ql-block">2.理解y＝sin x與y＝cos x圖象之間的關(guān)系，能利用“五點(diǎn)法”作出簡單的正弦、余弦函數(shù)的圖象. </p><p class="ql-block">3.會利用正弦(余弦)函數(shù)的圖象解決簡單的問題.</p><p class="ql-block">【引入】如圖，將一個(gè)漏斗掛在架子上，做一個(gè)簡易的單擺，在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸.把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動(dòng)，同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，這就是簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象.物理中把簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.你能描述一下該類曲線的特征嗎？</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象</p><p class="ql-block">探究1 繪制函數(shù)圖象，首先要準(zhǔn)確繪制其上一點(diǎn)，對于正弦函數(shù)，在[0，2π]上任取一個(gè)值x0，如何借助單位圓確定正弦函數(shù)值sin x0，并畫出點(diǎn)T(x0，sin x0)?</p><p class="ql-block">提示 如圖，在[0，2π]上任取一個(gè)值x0，根據(jù)正弦函數(shù)的定義可知y0＝sin x0，此時(shí)弧AB的長度為x0，結(jié)合之前每一個(gè)角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，可得點(diǎn)T(x0，sin x0).</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">探究2 根據(jù)函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象，你能想象y＝sin x，x∈R的圖象嗎？</p><p class="ql-block">提示 根據(jù)誘導(dǎo)公式一，把x∈[0，2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長度)，得y＝sin x，x∈R的圖象.</p><p class="ql-block">【知識梳理】</p><p class="ql-block">1.正弦函數(shù)的圖象</p><p class="ql-block">(1)正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">(2)在精確度要求不高時(shí)，作y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象常常先找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0，0)，，1(π)，(π，0)，，－1(3π)，(2π，0)，再用光滑的曲線將它們連接起來.</p><p class="ql-block">2.余弦函數(shù)的圖象</p><p class="ql-block">(1)余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線，是“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block">(2)確定余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0，2π]圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0，1)，，0(π)，(π，－1)，π，0(3)，(2π，1).</p><p class="ql-block">溫馨提示 (1)將y＝sin x，x∈R的圖象向左平移2(π)個(gè)單位長度得y＝cos x，x∈R的圖象，因此y＝sin x，x∈R與y＝cos x，x∈R的圖象形狀相同，只是在直角坐標(biāo)系中的位置不同.</p><p class="ql-block">(2)“五點(diǎn)法”只是畫出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的圖象.若x∈R，可先作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象，然后通過不斷向左、右平移可得到y(tǒng)＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的圖象.</p><p class="ql-block">例1 (1)(多選)對于余弦函數(shù)y＝cos x的圖象有以下描述，其中正確的描述有( )</p><p class="ql-block">A.將[0，2π]內(nèi)的圖象向左、向右不斷平移2π個(gè)單位得到y(tǒng)＝cos x的圖象</p><p class="ql-block">B.與y＝sin x圖象完全相同</p><p class="ql-block">C.與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)</p><p class="ql-block">D.關(guān)于x軸對稱</p><p class="ql-block">答案 AC</p><p class="ql-block">解析 根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可以判斷A，C正確，B，D錯(cuò)誤.</p><p class="ql-block">(2)已知函數(shù)f(x)＝sin x，x∈[－2π，2π]的圖象如圖所示，</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">點(diǎn)A的坐標(biāo)為______；點(diǎn)E的坐標(biāo)為______；|BD|＝________；|BE|＝________.</p><p class="ql-block">答案 (－2π，0) π，－1(3) 2π </p><p class="ql-block">解析 由y＝sin x，x∈[－2π，2π]的圖象知點(diǎn)</p><p class="ql-block">A(－2π，0)，點(diǎn)Eπ，－1(3)，|BD|＝2π.</p><p class="ql-block">|BE|＝＝.</p><p class="ql-block">思維升華 1.要熟練正弦、余弦函數(shù)圖象特征，正弦曲線、余弦曲線的形狀相同，只是在坐標(biāo)系中的位置不同，可以通過相互平移得到.</p><p class="ql-block">2.知道正弦曲線、余弦曲線在x∈[－2π，2π]內(nèi)特殊點(diǎn)(最高、最低點(diǎn)及與x軸的交點(diǎn))的坐標(biāo)，會求特殊點(diǎn)之間的橫向距離.</p><p class="ql-block">訓(xùn)練1 (多選)下列說法正確的是( )</p><p class="ql-block">A.作正弦函數(shù)的圖象時(shí)，單位圓的半徑長與y軸的單位長度要一致</p><p class="ql-block">B.y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象關(guān)于點(diǎn)P(π，0)對稱</p><p class="ql-block">C.y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象關(guān)于直線x＝π不對稱</p><p class="ql-block">D.正弦、余弦函數(shù)的圖象不超過直線y＝1和y＝－1所夾的范圍</p><p class="ql-block">答案 ABD</p><p class="ql-block">解析 分別畫出函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象，由圖象(略)觀察知ABD正確，C不正確.</p><p class="ql-block">二、用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象</p><p class="ql-block">探究3 如何畫函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的簡圖？</p><p class="ql-block">提示 根據(jù)前面的探究，我們發(fā)現(xiàn)，只需抓住函數(shù)圖象上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用圓滑的曲線連接即可.今后在精確度要求不高時(shí)，常常先找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0，0)，，1(π)，(π，0)，，－1(3π)，(2π，0).</p><p class="ql-block">例2 (鏈接教材P199例1)用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－3(1)cos x的簡圖.</p><p class="ql-block">解 (1)取值列表</p><p class="ql-block">x 0 2(π) π 2(3π) 2π</p><p class="ql-block">cos x 1 0 －1 0 1</p><p class="ql-block">1－3(1)cos x 3(2) 1 3(4) 1 3(2)</p><p class="ql-block">(2)描點(diǎn)，連線可得函數(shù)在[0，2π]上的圖象.</p><p class="ql-block">(3)將函數(shù)圖象向左、向右平移(每次2π個(gè)單位長度)，就可以得到函數(shù)y＝1－3(1)cos x的圖象，如圖所示.</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">思維升華 “五點(diǎn)法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的圖象的步驟：</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p> <p class="ql-block">利用GGB軟件顯示圖像的生成過程</p>