<p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);"> 二次函數(shù)中，己知縱坐標(biāo)的大小關(guān)系，求橫坐標(biāo)中的參數(shù)范圍，謝老師講了4種方法，第1種是不等式法，第2種是數(shù)形結(jié)合法，第3種是軸距法，第4種是“中遠(yuǎn)同側(cè)”法。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);"> 第1種，代入函數(shù)解析式，需要解二次不等式。第2種，需要畫圖，分類討論。第3種，要討論點(diǎn)軸位置，或用絕對值表示點(diǎn)軸距離。第4種，遠(yuǎn)與近也需數(shù)形結(jié)合，還要具體分析中點(diǎn)與軸的大小關(guān)系，是大還是小，也需要進(jìn)一步的思考與確定。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> </span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(255, 138, 0); font-size:22px;"> 第1種方法直接代入，不用過多的思考，思路上很容易理解。只是需要解一元二次不等式。要么分解分類求解，要么利用方程求解，對學(xué)生有一點(diǎn)難度。第4種方法中，軸和中點(diǎn)之間的大小關(guān)系，每次都得仔細(xì)觀察，小心翼翼。有沒有一個(gè)固定大小規(guī)律呢。我經(jīng)過思考與分析，終于有所發(fā)現(xiàn)，不用討論，不用畫圖，不解二次不等式，僅用a的符號(hào)和縱、橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，即可得到較為簡單的一次不等式求解，與大家一同分享，歡迎指正。</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(237, 35, 8); font-size:22px;">具體做法是：</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">1、把中點(diǎn)橫坐標(biāo)寫在與a值同類的y值下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">2、把對稱軸寫在另一個(gè)y值下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">3、確定與y同序的兩個(gè)橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，把該大于號(hào)（或小于號(hào)）直接挪移至中點(diǎn)橫坐標(biāo)與對稱軸之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(176, 79, 187);">4、求出不等式的解集。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（1） a</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">></span><span style="font-size:22px;">0時(shí)，把中點(diǎn)坐標(biāo)寫在</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">大</span><span style="font-size:22px;">y的下面，軸寫在另一個(gè)y的下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（2）確定</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">對應(yīng)</span><span style="font-size:22px;">的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（3）把（2）中得到的“<”填寫在（1）中的兩個(gè)式子之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（4）解不等式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（1） a</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">></span><span style="font-size:22px;">0時(shí)，把中點(diǎn)坐標(biāo)寫在</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">大</span><span style="font-size:22px;">y的下面，軸寫在另一個(gè)y的下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（2）確定</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">對應(yīng)</span><span style="font-size:22px;">的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（3）把（2）中得到的“<”填寫在（1）中的兩個(gè)式子之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（4）解不等式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（1） a</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">></span><span style="font-size:22px;">0時(shí)，把中點(diǎn)坐標(biāo)寫在</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">大</span><span style="font-size:22px;">y的下面，軸寫在另一個(gè)y的下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（2）確定</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">對應(yīng)</span><span style="font-size:22px;">的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（3）把（2）中得到的“<”填寫在（1）中的兩個(gè)式子之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（4）解不等式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（1） a</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">></span><span style="font-size:22px;">0時(shí)，把中點(diǎn)坐標(biāo)寫在</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">小</span><span style="font-size:22px;">y的下面，軸寫在另一個(gè)y的下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（2）確定</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">對應(yīng)</span><span style="font-size:22px;">的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（3）把（2）中得到的“<”填寫在（1）中的兩個(gè)式子之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（4）解不等式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（1） a</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);"><</span><span style="font-size:22px;">0時(shí)，把中點(diǎn)坐標(biāo)寫在</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">小</span><span style="font-size:22px;">y的下面，軸寫在一個(gè)y的下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（2）確定</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">對應(yīng)</span><span style="font-size:22px;">的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（3）把（2）中得到的“<”填寫在（1）中的兩個(gè)式子之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（4）解不等式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（1） a</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);"><</span><span style="font-size:22px;">0時(shí)，把中點(diǎn)坐標(biāo)寫在</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">小</span><span style="font-size:22px;">y的下面，軸寫在一個(gè)y的下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（2）確定</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">對應(yīng)</span><span style="font-size:22px;">的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（3）把（2）中得到的“<”填寫在（1）中的兩個(gè)式子之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（4）解不等式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（1） a</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);"><</span><span style="font-size:22px;">0時(shí)，把中點(diǎn)坐標(biāo)寫在</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">小</span><span style="font-size:22px;">y的下面，軸寫在一個(gè)y的下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（2）確定</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">對應(yīng)</span><span style="font-size:22px;">的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（3）把（2）中得到的“<”填寫在（1）中的兩個(gè)式子之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（4）解不等式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（1） a</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);"><</span><span style="font-size:22px;">0時(shí)，把中點(diǎn)坐標(biāo)寫在</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">小</span><span style="font-size:22px;">y的下面，軸寫在一個(gè)y的下面。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（2）確定</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">對應(yīng)</span><span style="font-size:22px;">的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（3）把（2）中得到的“<”填寫在（1）中的兩個(gè)式子之間。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">（4）解不等式。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);"> 當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱時(shí)，中點(diǎn)與對稱軸重合。當(dāng)兩點(diǎn)不對稱時(shí)，中點(diǎn)離遠(yuǎn)軸點(diǎn)更近，位于對稱軸的同一側(cè)， 這就是“中遠(yuǎn)同側(cè)”。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);"> 此時(shí)，兩個(gè)縱坐標(biāo)的大小關(guān)系等價(jià)于中點(diǎn)與對稱軸大小關(guān)系?！爸羞h(yuǎn)同側(cè)”的另一個(gè)隱含信息是：對稱軸離另外一個(gè)近軸點(diǎn)比較近。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);"> 而一個(gè)點(diǎn)y值的大小、與軸遠(yuǎn)近關(guān)系，其本質(zhì)都是由a的符號(hào)來決定的。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);"> 比如說，a>0時(shí)，遠(yuǎn)軸點(diǎn)y大，所以中遠(yuǎn)同側(cè)，也是中大同側(cè)。 a<0時(shí)，遠(yuǎn)軸點(diǎn)y小，又是中小同側(cè)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);"> 把a(bǔ)大、遠(yuǎn)大，a小、遠(yuǎn)小用一種規(guī)則來描述，就是中點(diǎn)與a同類型的y值對應(yīng)的點(diǎn)同位，對稱軸則與另外一個(gè)（反a類型）y值對應(yīng)的點(diǎn)同位。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);"> 這類似于宇宙中衛(wèi)星始終依附、環(huán)繞于恒星而存在一樣。所以 a的符號(hào)、y的大小決定中點(diǎn)與對稱軸依附,環(huán)繞于哪個(gè)y值對應(yīng)的點(diǎn)的位置。即： </span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">中隨 ay，軸隨反。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);"> 由于中點(diǎn)與軸都伴隨著相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的位置，所以，</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">中點(diǎn)與軸的大小關(guān)系</span><span style="font-size:22px; color:rgb(22, 126, 251);">，正好與這兩個(gè)點(diǎn)的左右關(guān)系一致。而這兩個(gè)點(diǎn)的左右關(guān)系，自然是由</span><span style="font-size:22px; color:rgb(237, 35, 8);">兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小來決定。</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:22px; color:rgb(255, 138, 0);"> 如果參數(shù)的次數(shù)是2，那么不等式法就要解4次不等式，軸距法去絕對值用平方的話，也需要解4次不等式，很顯然是非常復(fù)雜的。第4種方法，只用兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平均值，得到的是與參數(shù)相同次數(shù)的不等式。即使是2次參數(shù)，也可以結(jié)合二次方程和 a的符號(hào)，求出對應(yīng)的解集。所以我還是覺得，中遠(yuǎn)同側(cè)法使用范圍更廣?？梢宰鳛橐环N通法。這里只是對于中遠(yuǎn)同側(cè)進(jìn)行了一個(gè)延伸和程序化的操作，等價(jià)于中遠(yuǎn)同側(cè)，軸近同旁，左小右大。</span></p> <p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">二次比y求橫參，</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">中隨ay軸隨反，（a、y定位）</span></p><p class="ql-block"><span style="color:rgb(176, 79, 187); font-size:22px;">橫比關(guān)系填中間。（橫定大?。?lt;/span></p> <p class="ql-block">左右橫比，縱隨橫，</p><p class="ql-block">中對ay，軸對剩，</p><p class="ql-block">小于連接，都適用。</p>