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既聽(tīng)傳統(tǒng)故事，也習(xí)其中數(shù)學(xué)：《烏鴉喝水》故事成立的瓶中最小水量

湖上明月

<p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">　　《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中的經(jīng)典寓言，講述烏鴉通過(guò)向水瓶投擲石子使水位上升，最后喝到水的故事，包含著遇到困難不輕易放棄，而是想辦法解決，并且堅(jiān)持不懈的哲理。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> 但是，僅此就夠了嗎？烏鴉利用該方法喝上水，是一種必然的結(jié)果，還是偶然的幸運(yùn)？其中的科學(xué)問(wèn)題是餅子中有多少水，烏鴉才能通過(guò)此方法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> 從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，假設(shè)：（1）瓶子為圓柱體，類(lèi)似礦泉水瓶，不考慮柱體變徑以上部分體積；（2）投入瓶中的石子概化為直徑相同的球狀；（3）石子落入瓶中后，按緊密排列堆積（如同蜂窩狀），則按照公式計(jì)算得出瓶中石子的體積占瓶子總體積的74%，即空隙率是26%，這空隙率就是水需要填滿空間的比例，即緊密排列條件下瓶中至少有26%體積的水，水面才能到達(dá)柱體最頂端，烏鴉通過(guò)它的長(zhǎng)嘴喝到水?？紤]到烏鴉投下的石子不可能是緊密排列，而是隨機(jī)排列堆積，統(tǒng)計(jì)規(guī)律表明，隨機(jī)排列條件下空隙率為36%，即需要瓶中有36%體積的水，烏鴉才能喝到。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> 上述相同直徑（分選性）球狀（磨圓度）石子的計(jì)算是理想狀態(tài)，故事中烏鴉叼的石子磨圓度不可能如球狀，分選性也不可能大小一樣，現(xiàn)實(shí)條件下烏鴉能否喝到水，取決于石子的磨圓度和分選性，二者決定空隙率大小，分選性越差則空隙率越小，磨圓度越差則空隙率越大。也就是說(shuō)烏鴉扔下的石子構(gòu)成的堆積體的空隙體積與瓶中水的體積相等即可喝到水，如果把空隙率設(shè)為a、水瓶柱體高度設(shè)為H、烏鴉喝到水的水體最小高度為h，則h=aH。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> 故事中說(shuō)，“水瓶里水太少了”“它叼來(lái)許多石子，把它們一塊一塊地投到水瓶里。隨著石子的增多，水瓶里的水也一點(diǎn)兒一點(diǎn)兒地慢慢向上升……終于，水瓶里的水快升到瓶口了，而烏鴉總算可以喝到水了”?？磥?lái)雖然瓶子里的水太少，它投擲的石子顆粒大小組合所形成的空隙率還是能夠和原來(lái)瓶中水體積的占比相等的?？紤]到“烏鴉一氣之下，從不遠(yuǎn)處叼來(lái)一塊石子，朝著水瓶砸下去。它本想把水瓶砸壞之后飲水”，叼來(lái)的石子直徑應(yīng)該是比較大的，這就需要它在隨后投入的石子大小要有所智慧的選擇，否則，是否喝到水就只憑運(yùn)氣或理想狀態(tài)或作者的想當(dāng)然了。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">附：烏鴉喝水的故事</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> 一只烏鴉口渴了，它在低空盤(pán)旋著找水喝。找了很久，它才發(fā)現(xiàn)不遠(yuǎn)處有一個(gè)水瓶，便高興地飛了過(guò)去，穩(wěn)穩(wěn)地停在水瓶口，準(zhǔn)備痛快地喝水了?？墒牵?，瓶口又小，瓶頸又長(zhǎng)，烏鴉的嘴無(wú)論如何也夠不著水。這可怎么辦呢？</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">烏鴉想，把水瓶撞倒，就可以喝到水了。于是，它從高空往下沖，猛烈撞擊水瓶。可是水瓶太重了，烏鴉用盡全身的力氣，水瓶仍然紋絲不動(dòng)。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;">沒(méi)想到石子不偏不倚，“撲通”一聲正好落進(jìn)了水瓶里。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> 烏鴉飛下去，看到水瓶一點(diǎn)兒都沒(méi)破。細(xì)心的烏鴉發(fā)現(xiàn)，石子沉入瓶底，里面的水好像比原來(lái)高了一些。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> “ 有辦法了，這下我能喝到水了?！睘貘f非常高興，它“哇哇”大叫著開(kāi)始行動(dòng)起來(lái)。它叼來(lái)許多石子，把它們一塊一塊地投到水瓶里。隨著石子的增多，水瓶里的水也一點(diǎn)兒一點(diǎn)兒地慢慢向上升……</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:22px;"> 終于，水瓶里的水快升到瓶口了，而烏鴉總算可以喝到水了。他站在水瓶口，喝著甘甜可口的水，心里是那么痛快、舒暢。</span></p>