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《我談浙教版教材》樂清市北白象鎮(zhèn)中學孫建克

孫建克

<h1 style="text-align: center;"><b>我談浙教版教材</b></h1><h5 style="text-align: center;"><b style="color: rgb(22, 126, 251);">浙江省樂清市北白象鎮(zhèn)中學（325603）</b></h5><h5 style="text-align: center;"><b style="color: rgb(22, 126, 251);">孫建克（QQ：986233556）</b></h5><h3>浙教版數(shù)學九年級上冊第三章《圓的基本性質(zhì)》3.5圓周角（2）第91頁用加粗黑體字是這樣敘述圓周角定理推論2的內(nèi)容："在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。"前幾天剛好教到這里，三年一循環(huán)，在課堂上我斗膽又一次把這個教材中的圓周角定理推論2揶揄了一番，再一次當成"反面教材"給學生講解！不過這一次跟前幾屆相比講的更加有底氣更有說服力！為何？聽我慢慢道來。</h3><h3><br /></h3> <p>大家都知道，命題有真假之分，初中數(shù)學真命題包括公理（基本事實）、定理及定理的推論等。任何命題都由題設（已知條件）和結(jié)論兩部分組成，并且都可以改寫成"如果······，那么······。"的形式。把原命題的題設和結(jié)論互換就得到它的逆命題，真（或假）命題的逆命題未必是真（或假）命題，因此作為真命題的定理未必有逆定理，除非其逆命題為真命題。</p><p>數(shù)學是一門培養(yǎng)學生嚴謹思維的科學，對其本身而言就有嚴密性的要求，比如一個命題條件的變化，都會導致命題真假性或嚴密性受到影響！命題的真假性判斷容易，非真即假，非假即真。嚴密性是特別針對真命題來講的，一個真命題就要做到嚴密性！那何為嚴密性？按我對學生的通俗講法，嚴密性就是真命題的條件要做到剛剛好，不多不少，不過寬不過窄。條件不加限制就是過寬，過寬的條件必然會導致假命題的產(chǎn)生；條件無謂限制就是過窄，過窄的條件未必會導致真命題真假性的改變，但必然會影響真命題的嚴密性！圖形鑲嵌就是做到了各板塊之間沒空隙（不過寬），沒重疊（不過窄）才叫真正鑲嵌，同樣定理（推論）只有做到條件不過寬不過窄才叫數(shù)學定理！</p> <h3>下面舉幾個命題讓大家體驗一下條件過寬或過窄對命題真假性和嚴密性的影響。</h3><h3>命題1:三點確定一個圓。</h3><h3>命題2:平分弦的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對的弧。</h3><h3>命題3:同一條弦所對的圓周角相等。</h3><h3>命題4:垂直于同一條直線的兩直線平行。</h3><h3>命題5:在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩直線平行。</h3><h3>命題6:在同一平面內(nèi)，三角形的內(nèi)角和等于180度。</h3><h3>很顯然命題1-4都是由于條件過寬，沒有加以必要的限制導致全是假命題。要使它們成為真命題，只要依次加上限制條件即可，分別為：1、不在同一條直線上的三點確定一個圓。2、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對的弧。3、同一條弦在同一側(cè)所對的圓周角相等。4、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行。至于命題5和6就是由于條件過窄（無謂限制在同一平面內(nèi)），盡管還是真命題，但真命題的嚴密性出問題了，因為去掉限制條件"在同一平面內(nèi)"，命題仍然成立！故而這樣的真命題，加上限制條件就是畫蛇添足，多此一舉！在數(shù)學的角度看就是缺乏"嚴密性"。</h3><h3><br /></h3> <h3>浙教版教材對數(shù)學定理（推論）的描述的"真假性"當然不會出現(xiàn)這么低級的錯誤問題，因為有科學性做保障，描述的"嚴密性"也做得可圈可點，舉兩個例子就能說明我說的"兩性"特別是"嚴密性"，作為教材的編寫者是有考究的。1、原定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等。逆定理：到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。2、原定理：角平分線上的點到角的兩邊距離相等。逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。</h3><h3><br /></h3> <p>第1個例子中講的是線段中垂線性質(zhì)定理及其逆定理，只要互換彼此的條件和結(jié)論就能得到彼此的逆定理，非常簡單。而第2個例子講的是角平分線性質(zhì)定理及其逆定理就稍難點了，因為角的平分線是射線，而到角的兩邊距離相等的點除了在這個角的角平分線上外，這條角平分線的反向延長線上的點到這個角的兩邊距離也相等，當然這個角的鄰補角的角平分線所在的直線上的點也滿足要求，因此要得到原定理的逆定理，從描述數(shù)學定理的嚴密性角度看，如果以"這些點在角平分線上"為結(jié)論（跟原定理的條件對應），那么原定理的結(jié)論"點到角的兩邊距離相等"（跟逆定理的條件對應）對于逆定理來說就會出現(xiàn)條件過寬的問題，教材在原定理（"角平分線上的點到角兩邊距離相等"）的逆命題（"到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上"）的前面加上"在角的內(nèi)部"自有它的道理了！我想編者就是出于考慮"嚴密性"的問題。</p> <p>有了前面的長篇鋪墊，如果大家都達成共識的話，那么下面進入主題的內(nèi)容就不難理解了。眾所周知，同弧意味著在同圓中，等弧也意味著在同圓或等圓中，總之不管是同弧還是等弧都意味著在同圓或等圓中了，如果在"同弧或等弧"前面再加上"同圓或等圓"這個由自己原本就可以推導出來的結(jié)論當前提，從數(shù)學"嚴密性"角度來講，雖然沒有出現(xiàn)前面所講的條件"過寬過窄"問題，但出現(xiàn)了條件"重復"問題，也可以把它歸為廣義上的"過寬過窄"問題。講的再嚴重一點，不單單是條件“重復冗余”問題，更甚的是混亂了邏輯“因果律”。因此"同弧或等弧所對的圓周角相等"根本不需要條件"在同圓或等圓中"！而恰恰相反，這個定理（為了敘述方便姑且把這個真命題叫定理）的逆命題"相等的圓周角所對的弧相等"要使它成為該定理的逆定理，必須要加上"在同圓或等圓中"這個限制條件。</p><p><br></p> <h3>現(xiàn)在看浙教版數(shù)學教材九上第91頁的原話："在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。"大家發(fā)現(xiàn)沒有就是出現(xiàn)了上面的問題！也許有人說看見分號沒有，"在同圓或等圓中"就是下面兩個結(jié)論的大前提，沒錯，拋開條件"重復"這個問題不說，如果教師不仔細深究，我們的學生有這么仔細嗎？根據(jù)本人教了七屆畢業(yè)班的經(jīng)歷，前幾屆講到這里都要反復解釋，想維護教材的權(quán)威性，自圓其說！后幾屆我就不維護了，干脆拿教材當"反面教材"，真是無心插柳柳成蔭，有趣的是學生反而在這個知識點上掌握的很好。同時也培養(yǎng)了學生不唯書，不迷信書的批判思想。</h3> <h3>不過出于對數(shù)學科學的"嚴密性"和全省教材的"權(quán)威性"考慮，與其像我這樣"自圓其說"或當"反面教材"，不如干脆"修改教材"！修改非常簡單，只要把兩個結(jié)論做下調(diào)換，去掉"也"字，把分號改成句號即可。就是："在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。同弧或等弧所對的圓周角相等。"共兩句話互為逆命題組成圓周角定理推論2。這樣就跟前面的也互為逆命題的兩句話（半圓（或直徑）所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。）組成的圓周角定理推論1并列組成圓周角定理的兩個推論。</h3><h3><br /></h3> <p>2015年6月22日至7月3日，去杭州師范大學參加了2015年中小學（幼兒園）教師省級培訓與編寫者對話：初中數(shù)學浙教版教材解讀與教學研究專題集中培訓。在培訓期間我作了題為《注重細節(jié)，且教且反思》的公開講座，以上的內(nèi)容就是講座兩個部分中的一部分，名為《我談浙教版教材——把教材當"反面教材"》，并且私下與浙教版數(shù)學編委王亞權(quán)老師交流，得到他的肯定和贊許，培訓結(jié)業(yè)后獲得了"優(yōu)秀學員"的稱號。</p> <h3>現(xiàn)在我教的學生是在2015年9月份招入的，也就是在我參加90學時省級培訓后招入的學生，這屆學生有幸成為我的疑惑得到肯定后的第一批見證者。這個疑惑就是本文提到的我對浙教版圓周角定理推論2編寫的斗膽懷疑和改進，在杭州培訓期間提出后得到與會同仁老師們的肯定和好評，還有專家的首肯。這也就是篇首我講的更有底氣和更有說服力的原由。希望像王亞權(quán)老師說的那樣，在以后改版時能看到教材內(nèi)容的改進。</h3><h3> &nbsp;</h3><h3> 2017年10月7日</h3><h3><br /></h3><h3><br /></h3><h3>（以上圖片就是2015年參加省級培訓時我作的講座《注重細節(jié)，且教且反思》的一部分PPT，文章內(nèi)容由當時講座內(nèi)容整理而來，時間過去超兩年了，這次由于又教到圓周角定理推論2有感而發(fā)，趁這個國慶中秋假期憑零星的記憶和當時留存的PPT按數(shù)學邏輯推演而成。2017年10月8日本文被《簡書》"想法"專欄和"溫州"專欄同時收錄。）</h3>