李尚志之觀點(diǎn)029：行列式Big data <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">1.我已經(jīng)錄了幾講《線性代數(shù)入門(mén)》即將發(fā)布。這是為中學(xué)生講線性代數(shù)。但考慮到大學(xué)生也值得學(xué)，所以叫《入門(mén)》，不限中學(xué)生。大學(xué)線性代數(shù)講行列式、矩陣都是“奉天承運(yùn)皇帝詔曰”從天而降。比如講二階行列式就強(qiáng)行規(guī)定ad-bc，學(xué)生不知道為什么這樣規(guī)定，有什么用處。我講行列式，先閉口不談“行列式”這三個(gè)字，而是已知三點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0),A(a1,a2),B(b1,b2) 求三角形OAB的面積。讓你自己發(fā)明行列式。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">2.已知三頂點(diǎn)坐標(biāo)求三角形面積，這題并不難。方法也很多。不管你用那個(gè)方法，答案都一樣，都發(fā)明了同一個(gè)二階行列式。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">3.學(xué)習(xí)過(guò)程可以從“類(lèi)型”拆解和重組。但邏輯過(guò)程不是這樣，而是直接從最原始最簡(jiǎn)單的公理出發(fā)，沒(méi)有拆解，不是重組，而是直接從原始公理組合出所有類(lèi)型。所有的算術(shù)代數(shù)都不是從“類(lèi)型拆解”，而是直接從運(yùn)算律組裝出來(lái)的。很多教材挖空心思想出一個(gè)詞來(lái)“吹捧”運(yùn)算律都說(shuō)“運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算”，這其實(shí)不是吹捧，而是嚴(yán)重貶低運(yùn)算律的功能，就好比項(xiàng)羽給韓信分配的任務(wù)就是到隊(duì)伍中去扛一桿槍。蕭何才告訴劉邦，韓信的作用不是當(dāng)小兵“簡(jiǎn)化運(yùn)算”，而是當(dāng)總司令統(tǒng)帥運(yùn)算。以上那個(gè)“拆開(kāi)”“組裝”的論調(diào)仍然是項(xiàng)羽的錯(cuò)誤論調(diào)，而不是蕭何的正確方案。分析“類(lèi)型”不是為了從中拆解出一個(gè)新規(guī)律去組裝新規(guī)律，而是通過(guò)拆解見(jiàn)識(shí)無(wú)處不在的最高統(tǒng)帥“運(yùn)算律”怎樣組裝這個(gè)類(lèi)型，你再依樣畫(huà)葫蘆組裝另外的模型。這就是我說(shuō)的兩條定律：1.無(wú)招勝有招。也就是“抽象勝具體”，抽象指揮具體，普遍原理指揮具體案例。2.通過(guò)有招學(xué)無(wú)招。也就是通過(guò)具體案例學(xué)習(xí)普遍原理。“拆解”不是從“類(lèi)型”中發(fā)現(xiàn)新原理。中學(xué)所有的原理早就被全部發(fā)現(xiàn)過(guò)了，沒(méi)有新原理，都是舊原理。你只是通過(guò)拆解認(rèn)識(shí)舊原理。很可能你早就見(jiàn)過(guò)用過(guò)這個(gè)舊原理。但這個(gè)舊原理改頭換面藏在這個(gè)新“類(lèi)型”中，你就不認(rèn)識(shí)了。通過(guò)拆解揭穿他的新面目，識(shí)別它本來(lái)的舊面目，以便用它來(lái)解決新問(wèn)題。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">4.先不要期待，先解決我已經(jīng)布置了的問(wèn)題：已知頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)求三角形OAB的面積</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">5.他這個(gè)證明你們應(yīng)該都能看懂吧？算出的三角形面積是二階行列式的一半。二階行列式就是平行四邊形面積。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">6.他這個(gè)敘述的一個(gè)缺陷是正負(fù)號(hào)有點(diǎn)不一致。最初的sinAOB有正負(fù)號(hào)，行列式有正負(fù)號(hào)，中間那些算術(shù)平方根就不能為負(fù)號(hào)。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">7.兩個(gè)向量長(zhǎng)度之和大于等于和的長(zhǎng)度。也就是三角形兩邊之和大于第三邊</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">8.三角形兩邊之和大于第三邊，都知道。改為向量敘述就不知道了</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">9.不過(guò)這里就有一個(gè)問(wèn)題：2為什么三角形兩邊之和大于第三邊？如果讓課標(biāo)來(lái)解釋?zhuān)蟾啪烷_(kāi)始耍賴皮，說(shuō)這是“基本事實(shí)”?！盎臼聦?shí)”就是賴皮術(shù)</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">10.你們?nèi)タ次业某踔凶x本，決不允許賴皮。所以我不叫“教材”，而叫“讀本”。教材提倡賴皮，讀本拒絕賴皮。這就是我不叫教材的原因。堅(jiān)持當(dāng)正人君子，拒絕同流合污。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">11.先證明斜線大于垂線。這也是他們的“基本事實(shí)”。我用勾股定理證明：斜邊^(qū)2=勾^2+股^2>一條直角邊^(qū)2 => 斜邊>直角邊。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">12.過(guò)三角形ABC頂點(diǎn)B向AC作垂線BD，垂足為D。斜線AB>AD, BC>DC，AB+BC>AD+DC>= AC</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">13.課標(biāo)所謂的“基本事實(shí)”都由觀察得出。因此，天圓地方就是基本事實(shí)，太陽(yáng)東升西落也是基本事實(shí)。因此，我的筆下絕不出現(xiàn)“基本事實(shí)”這樣的詞。但湘教版高中教材不完全由我控制，有可能出現(xiàn)謬論。因此你們不要完全相信湘教版。但可以完全相信湘科社出版的初中新思路讀本。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">14.我寫(xiě)AD+DC>=AC，不寫(xiě)AD+DC，就是討論了垂足C的位置。如果垂足D在線段AC內(nèi)，就是相等。如果D在AC外，AC長(zhǎng)度就是AD，DC長(zhǎng)度相減，就是>AC</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">15.湘教版基本不用“規(guī)定”這樣的橫行霸道詞。但有“定義”這樣的詞就是規(guī)定。比如，加法的定義是什么？就是：滿足加法運(yùn)算律的運(yùn)算叫加法。只是規(guī)定了一個(gè)名稱“加法”。如果不滿足運(yùn)算律，是不是規(guī)定錯(cuò)了？不滿足加法運(yùn)算律，就不準(zhǔn)叫加法。所以，這樣的規(guī)定絕不會(huì)錯(cuò)。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">16.比如，什么叫“大于”？a-b>0 就叫 a>b. 那就還需要規(guī)定什么是a>0,稱為正數(shù)。 滿足如下兩條公理的就可以稱為正數(shù): （1) 對(duì)加法封閉：正數(shù)+正數(shù)=正數(shù)； (2) 對(duì)乘法封閉：正數(shù)x正數(shù)=正數(shù)。為什么復(fù)數(shù)不能比較大??？因?yàn)樗鼰o(wú)法規(guī)定正數(shù)。i是不是正數(shù)？如果規(guī)定i是正數(shù)，則ixi=-1是正數(shù)，矛盾。那就只能規(guī)定-i是正數(shù)。但(-i)(-i)=-1仍不是正數(shù)。因此無(wú)法規(guī)定正數(shù)</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">17.再回頭來(lái)討論根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求三角形AOB面積S=(1/2)|OA||OB|sinAOB=(1/2)|OA||OB|cos(AOB-90度）=（1/2）|OA||OB’|cosAOB’)=(1/2)OA.OB’ =(1/2)(a1,a2).(b2,-b1) = (1/2)(a1b2-a2b1)</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">18.關(guān)鍵是把正弦sinAOB= cos(AOB-90度）變成了余弦，面積 |OA||OB|sinAOB=|OA||OB’|cosAOB’ 變成了內(nèi)積，內(nèi)積是舊知識(shí)</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">19.平行四邊形面積等于底OB乘高，OA在OB法向量方向上的投影就是高。其實(shí)是用底x高求面積。</span></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">20.面積就是外積的大小。但為了求平行六面體體積，需要把底面積x高。正弦就是求底面積。高h(yuǎn)就是側(cè)棱向量OC在底面法向量方向上的投影。但高的方向卻不由側(cè)棱決定而由底面決定。因此把底面積的大小賦予它的垂直方向做成一個(gè)向量，稱為底面兩邊OA，OB的外積OAxOB，再與側(cè)棱OC做內(nèi)積，得到的(OAxOB).OC=底面積x高=V就是體積</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">21.也就是三階行列式。而且我根據(jù)這個(gè)定義不是先算出行列式公式，而是先得出運(yùn)算律。先有OC點(diǎn)乘得出分配律。再由OA=OB時(shí)底面積=0得出兩列相等外積為0因而是反對(duì)稱。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">22.再由單位陣行列式就是單位正方體體積等于1。這三條性質(zhì)就能算出3階行列式，而且可以推廣到n維得出n階行列式</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">23.線性代數(shù)教材都是直接規(guī)定行列式的算法。邏輯上這是對(duì)的。但學(xué)生就只能莫名其妙，不知道行列式算的是什么，為什么這么算，算出來(lái)有什么用?，F(xiàn)在反過(guò)來(lái)，先規(guī)定算面積體積，再推出運(yùn)算律，再推出算法，一切就都理所當(dāng)然</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">24.中學(xué)生就可以懂了</span></p> <p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">25.線性代數(shù)教材都是直接規(guī)定行列式的算法。邏輯上這是對(duì)的。但學(xué)生就只能莫名其妙，不知道行列式算的是什么，為什么這么算，算出來(lái)有什么用?，F(xiàn)在反過(guò)來(lái)，先規(guī)定算面積體積，再推出運(yùn)算律，再推出算法，一切就都理所當(dāng)然</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">26.除了推出行列式的算法，還要用行列式干活。算面積體積只是2階3階，一般的n階就是解一次方程組。一是判定是否有唯一解。二是給出求解算法—克萊姆法則。比如二元一次方程組 ax+by=u,cx+dy=v. 首先把兩個(gè)方程并成一個(gè)方程x(a,c)+y(b,d) =(u,v). 把(a,c)=OA, (b,d)=OB,(u,v)=U各看成平面中的一個(gè)向量。方程組就變成一個(gè)方程xOA+yOB=U，幾何意義就是由兩個(gè)已知向量組合第三個(gè)已知向量U，求組合系數(shù)x,y. 由平面向量基本定理：只要OA,OB 不共線，就組成一組基，存在唯一組系數(shù)x,y把U組合出來(lái)。不共線的條件就是以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形面積不為0。這個(gè)面積就是行列式。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">27.怎么求方程xOA+yOB=OU唯一解？取OB’=(d,-b)與OB垂直。與方程兩邊作內(nèi)積就可消去OB得xOA.OB'=OU.OB’解出x，這就是克萊姆法則。</span></p><p class="ql-block"><br></p><p class="ql-block"><span style="font-size:20px;">28.還是納入額“數(shù)學(xué)愛(ài)我們”吧。我現(xiàn)在是錄了前5集，還沒(méi)有把文件提交給張健他們出版社。本期要發(fā)布的是《多項(xiàng)式逼近函數(shù)》，以sinx為例講泰勒展開(kāi)。不是直接頒布泰勒展開(kāi)sinx=x- x^3/(3!)+…. 而是先寫(xiě)待定系數(shù) sinx=c0+c1x+c2x^2+...，再取x=0得c0=sin0=0. 再求導(dǎo)得cosx=c1+2c2x+3c3x^2+…再取x=0得c1=1，…依次求得全部系數(shù)。</span></p>